A cosa serve il complesso cotangente?
Il complesso cotangente sembra essere un oggetto piuttosto fondamentale nella geometria algebrica, ma se è trattato a Hartshorne, allora l'ho perso. Sembra essere ancora più importante nella geometria algebrica derivata, quindi penso di dover rallentare e rimpicciolire un po '. Quando si impara per la prima volta sull'oggetto$X$, è bello avere in mente alcune applicazioni concrete di $X$ per strutturare il proprio pensiero.
Domanda: Perché studiare il complesso cotangente? Quali problemi intende risolvere?
(Punti bonus se c'è qualcosa di interessante da dire sull'estensione all'impostazione derivata.)
Ho la sensazione che il complesso cotangente è come un oggetto fondamentale che può essere difficile da isolare la sua importanza - molto come cercare di articolare il significato di qualcosa come coomologia. In tal caso, potrebbe essere più appropriato chiedere qualcosa come "che tipo di domande il complesso cotangente consente di porre?".
EDIT: Le risposte finora sono fantastiche, ma immagino che ci siano molti altri esempi che potrebbero essere forniti (più sono concreti, meglio è!). Come suggerito nei commenti, è probabilmente appropriato dire un po 'di più sulle mie origini.
Suppongo che le idee principali che ho nella mia testa in questo momento siano:
Il complesso cotangente generalizza i differenziali di Kahler.
Il complesso cotangente controlla la teoria della deformazione.
Questo mi lascia con alcune difficoltà:
Non sono abituato a pensare alle forme differenziali principalmente come "cose che controllano le deformazioni". Quindi potrebbe essere utile illustrare semplicemente l'uso del complesso cotangente descrivendo qualche problema di deformazione e la sua soluzione nel caso liscio usando i differenziali - sarebbe quindi naturale voler generalizzare questa situazione al caso non liscio.
Non sono nemmeno sicuro del motivo per cui dovrei essere interessato alla teoria della deformazione in quanto tale. Quindi potrebbe essere utile vedere semplicemente un esempio di un problema che sorge al di fuori del contesto della teoria della deformazione stessa, vedere come può essere riformulato teoricamente sulla deformazione, e poi vedere come la sua soluzione usa il complesso cotangente. Punti bonus se la storia è abbastanza geometrica per capire perché il ruolo del complesso cotangente qui è davvero una generalizzazione del ruolo dei differenziali.
Risposte
Ecco un esempio menzionato di sfuggita dalla risposta dell'utente ali, ma penso che sia carino (e potente) abbastanza da valere la pena di approfondire i dettagli.
Sollevamento da caratteristica $p$ allo zero caratteristico
In breve, studiare un oggetto geometrico (diciamo, uno schema) $X$ in caratteristica $p$spesso comporta il sollevamento allo zero caratteristico. Ad esempio, if$X$ è una varietà proiettiva liscia finita $\mathbf{F}_p$, possiamo provare a trovare un ascensore (piatto) $\mathcal{X}$ sopra il $p$numeri caduti $\mathbf{Z}_p$. Adesso,$\mathbf{Z}_p$ incorpora in $\mathbf{C}$ (in qualche modo completamente non canonico) e possiamo applicare metodi potenti come la teoria di Hodge alla varietà complessa sottostante $\mathcal{X}_\mathbf{C}$.
Ora, ricordalo $$ \mathbf{Z}_p = \varprojlim_n \mathbf{Z}/p^{n+1}. $$ Così sollevando $X_0=X$ al di sopra di $\mathbf{Z}_p$ implica la ricerca di sollevamenti compatibili $X_n$ al di sopra di $\mathbf{Z}/p^{n+1}$ per tutti $n$. Il sistema$\mathfrak{X} = \{X_n\}$ (o il suo limite induttivo negli spazi localmente inanellati) è un "$p$-schema formale adico "e il passaggio successivo consiste nel verificare che sia algebrizzabile , ovvero che provenga da uno schema reale$\mathcal{X}/\mathbf{Z}_p$ dall'ovvio funtore di "completamento formale".
Ora il primo passo, trovare i successivi sollevamenti $\{X_n\}$, è completamente controllato dalla teoria della deformazione. Nella nostra situazione, dice quanto segue:
Se $X_0$ è uno schema finito $\mathbf{F}_p$, e $X_n$ è un sollevamento piatto di $X_0$ al di sopra di $\mathbf{Z}/p^{n+1}$, esiste una classe di ostruzione $$ {\rm obs}(X_n, \mathbf{Z}/p^{n+2}) \in {\rm Ext}^2(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0}) = {\rm Hom}_{D(X_0)}(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0}[2]), $$ che svanisce se e solo se esiste un sollevamento piatto $X_{n+1}$ di $X_n$ al di sopra di $\mathbf{Z}/p^{n+2}$. È funtoriale nel senso che per$f_n\colon X_n\to Y_n$ sollevamento $f_0\colon X_0\to Y_0$ abbiamo un quadrato commutativo $$\require{AMScd} \begin{CD} \mathbf{L}_{Y_0/\mathbf{F}_p} @>>> \mathcal{O}_{Y_0}[2]\\ @VVV @VVV\\ Rf_{0, *}\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p} @>>> Rf_{0, *}\mathcal{O}_{X_0}[2] \end{CD}$$
Nel caso in cui la classe di ostruzione svanisca, l'insieme delle classi di isomorfismo di tali sollevamenti $X_{n+1}$ è in modo naturale un torsore sotto $$ {\rm Ext}^1(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0}) = {\rm Hom}_{D(X_0)}(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0}[1]). $$
Il gruppo di automorfismi di qualsiasi sollevamento $X_{n+1}$ limitando l'identità su $X_n$ è naturalmente isomorfo a $$ {\rm Hom}(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0}). $$
C'è una storia simile per il sollevamento dei morfismi $f_0\colon X_0\to Y_0$.
Quindi se puoi dimostrarlo ${\rm Ext}^2(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0})$ svanisce, allora lo sai $X_0$ ammette un formale $p$-adic lifting $\mathfrak{X}$. Ad esempio, if$X_0$ è una superficie K3, quindi questo gruppo può essere identificato con lo spazio dei campi vettoriali globali $X_0$, e la sua scomparsa è un teorema difficile dovuto a Rudakov e Shafarevich. (E il fatto che c'è un algebraizable sollevamento formale, ossia che un ampio fascio linea può essere sollevato per tutti$X_n$è per una buona scelta di $\mathfrak{X}$, è stato mostrato in seguito da Deligne.)
Schemi perfetti e vettori Witt
Ricordalo per ogni campo perfetto $k$ di caratteristica $p>0$ esiste un unico anello di valutazione discreto completo $W(k)$(il suo anello di vettori Witt ) con campo residuo$k$ il cui ideale massimo è generato da $p$. È un funtore di$k$, e noi abbiamo $W(k) \simeq k^{\mathbf{N}}$come funtori in insiemi. Le leggi di addizione e moltiplicazione su$k^{\mathbf{N}}$ così ottenute sono date da complicate formule universali, es $$ (x_0, x_1, \ldots) + (y_0, y_1, \ldots) = (x_0 + y_0, x_1 + y_1 - \sum_{0<i<p} \frac 1 p \binom p i x_0^i y_0^{p-i}, \ldots). $$ Definiamo $W_n(k) = W(k)/p^n$e chiamiamo questi vettori di Witt di lunghezza$n$.
Per esempio, $W(\mathbf{F}_p) = \mathbf{Z}_p$, $W_n(\mathbf{F}_p) = \mathbf{Z}/p^n$.
In effetti, quanto sopra può essere definito per qualsiasi anello $R$. Se$R$è un perfetto $\mathbf{F}_p$-algebra, nel senso che è Frobenius $$ F_R \colon R\to R, \quad F_R(x) = x^p $$ è un isomorfismo, quindi $W(R)$ è un sollevamento piatto di $R$ al di sopra di $W(\mathbf{F}_p) = \mathbf{Z}_p$.
Ecco un bellissimo argomento (credo dovuto a Bhargav Bhatt) che impiega il complesso cotangente per mostrare l'esistenza di vettori Witt per anelli (o schemi) perfetti senza usare formule universali dall'aspetto strano per l'addizione e la moltiplicazione.
Teorema. Permettere$X$ essere un perfetto $\mathbf{F}_p$-schema. Esiste un unico fino a un unico isomorfismo formale$p$-adic lifting $\mathfrak{X} = \{X_n\}$ di $X_0=X$. Inoltre, ogni morfismo$f\colon X\to Y$ ammette un sollevamento unico $\mathfrak{X}\to \mathfrak{Y}$.
Quanto sopra implica quello $\mathfrak{X}$ è un funtore di $X$, indicato $W(X)$. Non è difficile dimostrare che coincide effettivamente con i vettori di Witt.
Prova. Considera il complesso cotangente$\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}$ e la mappa $$ F_X^* \colon \mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}\to F_{X, *} \mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p} $$ indotto dall'assoluto Frobenius $F_X\colon X\to X$. Da$F_X$ è un isomorfismo, la mappa $F_X^*$è anche un isomorfismo. Il complesso$\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}$ è definito risolvendo localmente $\mathcal{O}_X$ da libero $\mathbf{F}_p$-algebre e considerando i loro differenziali Kaehler. E$F_A$ agisce come zero su $\Omega^1_{A/\mathbf{F}_p}$ per ogni $\mathbf{F}_p$-algebra $A$: $$ F_A^*(dx) = dF_A(x) = dx^p = px^{p-1} dx = 0. $$ Quindi la mappa $F_X^*$sopra è la mappa zero. Poiché è anche un isomorfismo, lo concludiamo$\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p} = 0$!
Ora, dalla teoria della deformazione, gli ostacoli al sollevamento si trovano nel gruppo zero (e quindi esistono i successivi sollevamenti), le classi di isomorfismo di diversi sollevamenti successivi sono permutati dal gruppo zero (e quindi i sollevamenti sono unici), ei loro gruppi di automorfismi sono banale (quindi i sollevamenti sono unici fino a un unico isomorfismo). Allo stesso modo, si gestisce il sollevamento dei morfismi.$\square$
Una delle principali applicazioni è nel teorema di rappresentabilità di Artin. L'esistenza di un complesso cotangente (ciò che Artin chiama esistenza di una teoria dell'ostruzione) consente di linearizzare la questione dell'esistenza di un atlante liscio. È davvero potente. Suggerirei davvero di guardare attraverso DAG XIV se sei interessato a questa applicazione (la versione derivata è in DAG-0 (la tesi di Lurie)) e una versione semplificata è in una delle appendici di HAG-II di Toën e Vezzosi.
La rappresentabilità è stata utilizzata con effetti sbalorditivi nel documento di Toën del 2011 che mostra che ogni n-stack fppf-algebrico derivato ammette un atlante liscio e quindi è un n-stack algebrico di Artin derivato, e viceversa (mostrando che tutti gli n-stack derivati da Artin sono fppf covoni).
Recentemente ho dovuto usare questi teoremi per dimostrare la discesa fppf per étale n-sheaves su stack DM spettrali in qualcosa su cui ho lavorato di recente. Il punto chiave di tutto questo è mostrare l'esistenza di un complesso cotangente.
Se vuoi vedere la relazione tra forme differenziali e teoria della deformazione puoi guardare la parte B dell'articolo Illusie in FGA spiegato che mostra che perché l'ostruzione al problema di sollevare un morfismo o uno schema a un intorno infinitesimale risiede nella coomologia di un fascio relativo al fascio di differenziali. Discute anche alcune applicazioni classiche di questo fatto su un gruppo fondamentale di schemi e similmente questo è un fatto molto importante quando si vogliono dimostrare i teoremi del cambiamento di base sulla coomologia étale.
Una delle principali motivazioni dei complessi cotangenti era lo studio delle deformazioni di $p$-gruppi divisibili e dimostrazione del teorema di Grothendieck-Messing. Questo è importante perché ad esempio hai un criterio di levigatezza basato sulle deformazioni che è particolarmente utile quando hai definito il tuo schema dal suo funtore di punti. È possibile utilizzare la teoria di Grothendieck-Messing per dimostrare, tra le altre cose, la fluidità delle varietà Shimura (e dei loro modelli integrali).
Il complesso cotangente è utile anche nella geometria perfettoide perché spesso si desidera sollevare un morfismo o uno schema dal campo residuo di un anello locale completo e la teoria della deformazione e il complesso cotangente sono lo strumento principale per questo tipo di problemi. E nell'impostazione del prefettoide anelli il complesso cotangente (o almeno il suo completamento p-adico derivato) svanisce a causa della sorgenza del Frobenius. è un esercizio facile una volta costruito il meccanismo dei complessi cotangenti ma è molto importante perché non si hanno ostacoli per sollevare i morfismi.
Lasciami provare a rispondere alle domande nella tua modifica. Per la relazione con la teoria della deformazione, è geometricamente più semplice pensare al complesso tangente.
Permettere $X$essere una varietà algebrica liscia. Poi$H^0(T_X)$, lo spazio dei campi vettoriali globali su $X$, governa automorfismi infinitesimali di $X$. Questa è solo la solita relazione tra i campi vettoriali e un sottogruppo di parametri dalla topologia differenziale. Da questo fatto possiamo capire perché$H^1(T_X)$ governa le deformazioni.
Algebricamente, scrivi $D = {\rm Spec}~ k[\epsilon]/\epsilon^2$. Una deformazione di$X$ è una varietà (piatta) $\tilde X \to D$ insieme a un isomorfismo $X \to \tilde X \times_D {*}$. Deformazioni di$X$formano un gruppoide in modo ovvio. Inoltre, per ogni sottoinsieme aperto$U$ di $X$ possiamo considerare il gruppoide delle deformazioni di $U$. Questo ci dà un fascio di groupoidi$X$, $U \mapsto Def(U)$.
Ora i fatti chiave sono:
- Se $U$ è affine, quindi ogni deformazione di $U$ è isomorfo a $U \times D$.
- Il gruppo automorfismo della deformazione $U \times D$ è canonicamente isomorfo a $H^0(T_U)$.
Il secondo fatto è una riaffermazione algebrica del fatto di prima. Il primo utilizza la levigatezza di$X$. Ammettendo questi due fatti, ne consegue formalmente che il covone di groupoidi è quello associato al covone di gruppi$H^0(T_U)$. Quindi, in particolare, l'insieme dei componenti collegati è$H^1(T_X)$.
Ora, poiché stiamo lavorando in un setup omologico / omotopico, è intuitivo che per realizzare una storia simile per uno schema singolare, dovremmo risolverla con schemi fluidi e lavorare da lì. In altre parole, se$X$ è singolare, quindi il gruppo automorfismo di $X \times D$ non è necessariamente governato da $H^0(T_X)$ ancora, ma sappiamo che possiamo calcolare il suo gruppo di automorfismi nella categoria degli schemi derivati risolvendo $X$da schemi fluidi. Puoi provare a pensare a cosa succede con la singolarità più semplice$\mathbb V(xy)$.
Per quanto riguarda le applicazioni della teoria della deformazione, i geometri algebrici vogliono classificare le varietà. Gli spazi / pile dei moduli sono molto utili e la teoria della deformazione ti dice precisamente la struttura locale dello spazio dei moduli. Ad esempio, lo spazio dei moduli del genere$g$ curve è liscia e $3g-3$dimenisonal. Perché? Perché$H^1(T_C) = H^0(\Omega_C^{\otimes 2})$ ha dimensione $3g-3$sempre di Riemann Roch. Il complesso cotangente entra in gioco quando si desidera compattare lo spazio dei moduli, il confine della compattificazione sarà costituito da curve singolari. Puoi guardare l'articolo di Deligne-Mumford per vedere come la teoria della deformazione viene utilizzata qui.
Questo non è un vicolo impilabile e geometrico che piace a molte persone, ma penso che forse sia utile mostrare come il complesso cotangente (algebrico) può essere usato per organizzare e risolvere una questione molto naturale di confronto delle teorie coomologiche cotangenti come fa il teorema classico di HKR .
In collaborazione con R. Campos, siamo riusciti a utilizzare il complesso cotangente (che è definito funturalmente per le algebre su diciamo operadi algebrici) per risolvere il seguente problema:
Supporre che $f:P\longrightarrow Q$ è un morfismo di operadi (algebrici) e considera il morfismo indotto su complessi cotangenti $\mathbb L_{P,A} \longrightarrow \mathbb L_{Q,A}$. Se$A$ è un liscio $Q$-algebra (che significa funtore $X\to \operatorname{Der}_Q(X,M)$ è esatto), quando possiamo trovare un funtore $F$ che produce un quasi-isomorfismo di tipo HKR dei complessi $ \mathbb L_{P,A} \longrightarrow F(\mathbb L_{Q,A})?$
Si scopre che se si considera la categoria di sinistra dg-$P$-moduli, quindi tali funtori $F$ sono più o meno in corrispondenza di risoluzioni di $Q$ come sinistra $P$-modulo attraverso $f$e siamo riusciti a dimostrarlo
Se $f$ è lasciato Koszul (che significa, possiamo scegliere una risoluzione sinistra $(P\circ F,d)$ che è diagonalmente puro) quindi i generatori $F$ della risoluzione risolve il problema di cui sopra: per ogni liscia $Q$-algebra $A$ c'è una mappa dei complessi $\mathbb L_{P,A} \longrightarrow F(\mathbb L_{Q,A})$ questo è un quasi-isomorfismo.
Per vedere come questo sia un teorema HKR, osservalo per la proiezione $A\to C$ dell'operato associativo su quello commutativo, possiamo trovare una risoluzione diagonalmente pura data da $(A\circ F,d)$ dove $F =\mathsf{Lie}^¡$ha grado di peso uguale a arity. In effetti, capisci che l'omologia di questo è$C$ perché $A = C\circ \mathsf{Lie} $ e $\mathsf{Lie} \circ \mathsf{Lie}^¡ \simeq k$.
Questo recupera il classico teorema HKR, dal momento che ovviamente $F(V) = S^c(V)$ e così lo otteniamo $HH_*(A)$ è l'algebra cocommutativa libera sopra $\Omega_A^1$ (da $A$ è liscia, questo è tutto ciò che rimane in omologia di $\mathbb L_{C,A}$).