$ABCD$ è un quadrato. $E$ e $F$ sono punti rispettivamente su $BC$ e $CD$ tale che $\angle EAF = 45^\circ$.

Question

$ABCD$ è un quadrato. $E$ e $F$ sono punti rispettivamente su $BC$ e $CD$ tale che $\angle EAF = 45^\circ$. $AE$ e $AF$ tagliare la diagonale $BD$ a $P,Q$rispettivamente. Trova$\frac{[\Delta AEF]}{[\Delta APQ]}$ .

Quello che ho provato : ecco un'immagine: -

Ho provato a usare un po 'di inseguimento dell'angolo e ho potuto solo concludere quello $\Delta BPE \sim \Delta QDF$, ma questo non sembra essere utile da nessuna parte.
Quindi ho usato Geogebra per cercare alcuni risultati. Lì l'ho trovato$\angle APQ = \angle AFE$, concludendo che $\Delta APQ \sim \Delta AFE$. Qualcuno può spiegare che è così?

metto $\angle AFE = (90 - x)^\circ$ e $\angle AEF = (45 + x)^\circ$, con mia sorpresa, i risultati hanno funzionato, ma perché?
Anche la risposta al problema è$2$, ma come trovi il risultato?

Qualcuno può aiutare?

Answer 1

Da $\angle QAP = \angle EBP$, $ABEQ$ è un quadrilatero ciclico.

Ruotare $\triangle ADF$ di $A$ di $90°$senso orario. Sia F 'il nuovo punto di F.

Da $\triangle ADF \cong \triangle ABF'$, $\angle AQB = \angle AEB = \angle AEF$.

Perciò, $\triangle APQ \sim \triangle AFE$. Implica$AP×AE = AQ×AF$.

Aderire $EQ$. $\angle AQE = 180° - 45° - \angle AEQ = 135° - \angle ABQ = 90°$.

Poi, $AQ = EQ$ implica $\frac{AQ}{AE} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Allo stesso modo, $\frac{AP}{AF} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Infine, $\frac{[\triangle AFE]}{[\triangle APQ]} = \frac{0.5}{0.5}\frac{\sqrt{2}}{1}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}}\frac{sin\angle FAE}{sin\angle PAQ} = 2$