Al limite per la norma risolutiva

Question

Permettere $H$essere uno spazio di Hilbert complesso, infinito e separabile. Correggi due operatori diversi da zero$A,B \in B(H)$ tale che $B$ non è un multiplo scalare di $A$. È ben noto che:

$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$

Questo segue facilmente da:

$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$

Ora considera l'operatore $A+ cB$ dove $c$ è un numero reale positivo e fissa un numero complesso $z$. Possiamo dirlo, per tutti$\epsilon >0$, lì esiste $M>0$ tale che:

$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$

Intuitivamente , per$c \rightarrow +\infty$, noi avremmo:

$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$

perché $|z/c| \rightarrow 0$, $\|A\| / c \rightarrow 0$, $1/c \rightarrow 0$ e $B$è aggiustato. Tuttavia, non sono a conoscenza di alcun riferimento per un risultato di questo tipo. Qualcuno ha un riferimento o una prova di ciò?

Answer 1

Come Michael ha già osservato: è semplice costruire controesempi if $B$ ha un kernel non banale $N(B)$ e $A$ mappe $N(B)$ in se stesso, da allora $N(B)$ la dimensione di $c$ non gioca alcun ruolo.

Ma anche se $B$ è un isomorfismo, anche l'identità $B=I$, la congettura è falsa: $z-A-cB=(z-c)-A$. Il massimo della norma dell'inverso (su tutto$z$ dall'insieme risolvente corrispondente) è chiaramente indipendente da $c$.

Comunque, se $B$è un isomorfismo, ci sono alcune stime:

Ci tiene $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$, e si può utilizzare il preventivo risolutivo menzionato nella domanda per ottenere $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ Questo fornisce una stima se $|c|$ è grande rispetto a $|z|\|B^{-1}\|$.

Se $|z|$ è grande rispetto a $|c|\|B\|$, è possibile utilizzare la stima della domanda.

Se nessuno dei due è il caso, non è necessario che ci sia una buona stima come menzionato sopra ($B=I$).