Base che determina una topologia unica
Quando ho letto Topologia di Munkres , ho la sensazione che se abbiamo una base$\mathscr{B}$ su un set $X$, quindi la base determina in modo univoco una topologia su $X$; cioè, se abbiamo due topologie$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ con la stessa base $\mathscr{B}$, poi $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$. Non sono sicuro di avere ragione perché non riesco a vederlo nella definizione, che è la seguente:
Se $X$ è impostato, una base per una topologia su $X$ è una collezione $\mathscr{B}$ di sottoinsiemi di $X$ (chiamati elementi di base) in modo tale che per ciascuno $x\in X$, ce n'è almeno uno $B\in \mathscr{B}$ tale che $x\in B$ e se $x\in B_1\cap B_2$, dove $B_1, B_2\in \mathscr{B}$, allora esiste $B_3\in \mathscr{B}$ tale che $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$.
Inoltre, la base $\mathscr{B}$ genera una topologia
$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $x \ in U$, there exists $B \ in \ mathscr {B}$ such that $x \ in B \ sottoinsieme U$}\right\}$,
che è la topologia più piccola contenente $\mathscr{B}$. Quindi, immagino sia probabile che quelle topologie le cui basi siano$\mathscr{B}$ dovrebbe essere uguale a $\mathscr{T}_\mathscr{B}$.
A proposito, ho consultato l'articolo Unicità di topologia e base e uno dei commenti (lasciato da Henno) sembra giustificare la mia intuizione e hanno menzionato qualsiasi set aperto$O$ è un'unione degli elementi di $\mathscr{B}$, così $O$ è già nella topologia $\mathscr{T}_\mathscr{B}$, ma come potrebbero saperlo $O$si può scrivere in questo modo semplicemente definendo una base? Voglio dire, nel libro di Munkres, ha menzionato nel lemme 13.1, dalla mia comprensione, quello$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$, come opposto a dire che vale per qualsiasi topologia con base $\mathscr{B}$. Forse a questo punto sto fraintendendo.
Qualsiasi aiuto è davvero apprezzato !!
Risposte
Diciamo quella topologia $\mathcal T$ ha base $\mathcal B$ Se $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$.
Pertanto, è immediato che se due topologie hanno la stessa base, coincidono.
Detto questo per ogni $x\in U$ c'è un $B_x\in\mathcal B$ tale che $x\in B_x\subseteq U$ equivale a dirlo $U$ è l'unione di elementi di $\mathcal B$, in particolare $U=\bigcup_{x\in U}B_x$.
Quello che potresti perdere è questo
Un set $\mathcal B$ di sottoinsiemi di $X$ è una base per una topologia (significato $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ è una topologia) se e solo se valgono le condizioni date, es $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ e $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$.
Partirei dalla definizione di topologia come raccolta di tutti gli insiemi aperti. Nota ora che ogni singolo insieme aperto può essere scritto come l' unione teorica degli insiemi di ogni elemento base che contiene un punto$x \in U$, questo è, $U = \bigcup_{x\in U} B_x $. Notare ora che, in base ai presupposti di una base di una topologia, è sempre possibile prendere due elementi di base$B_1, B_2$ con intersezione non vuota e trova in essi un terzo elemento di base (chiamalo $B_3$). Tuttavia, la topologia generata dalla raccolta senza $B_3$e quello con $B_3$ è esattamente lo stesso e questo deriva dal fatto che l'unione teorica degli insiemi non cambia se aggiungiamo un insieme già preso in considerazione considerando gli insiemi $B_1$ e $ B_2$. Questo è il significato di quando Munkres scrive che una base per una topologia non è come una base per uno spazio vettoriale. Quindi, da questo punto di vista puoi vedere che poiché l'unione insiemistica di tutti gli insiemi aperti (fissi) è un oggetto unico, allora puoi dire che una base determina la topologia ma non il contrario.