Black Volatility utilizzando il modello SABR

Aug 25 2020

Come da Wikipedia, il SABRmodello si presenta come di seguito:

$dF_t = \sigma_t \left(F_t\right)^{\beta} dW_t$

$d \sigma_t = \alpha \sigma_t d Z_t$

Ho 3 domande -

Supponiamo di conoscere tutti i parametri. Allora cosa significa quando ci viene detto che stimare la volatilità del nero usando SABR? In genere, quando stimiamo la Black volatilityformula BS utilizzando, prendiamo il prezzo dell'opzione con una certa maturità e quindi stimiamo il$\sigma$che è costante. In questo caso esso stesso stocastico. Quindi cosa Black volatilitysignifica nel SABRcontesto? È la volatilità media di tutti$\sigma_t$sulla vita dell'opzione?
Ora diciamo che non conosciamo i parametri e desideriamo stimarli. AFAIK, generalmente esaminiamo i prezzi di mercato delle opzioni per vari strike e scadenze. Quindi, abbiamo una soluzione in forma chiusa dei prezzi delle opzioni utilizzando il SABRmodello?
Secondo wikipedia, il$F_t$è contratto a termine. Possiamo anche usare il SABRmodello per l'assunzione di Futures$F_t$è futuro? Quindi, a nostra volta, possiamo anche stimare la Volatilità di Spot, dato che Volatilità di Spot dovrebbe essere uguale a Futures in quanto è un derivato lineare?

Risposte

4 LePiddu Aug 25 2020 at 19:59

Il modello SABR rappresenta l'evoluzione stocastica del prezzo di un qualche tipo di attività nella misura per la quale è una martingala a deriva zero. Per i contratti a termine è la cosiddetta "misura a termine", quella indotta utilizzando come numerario il prezzo di un'obbligazione zero coupon che matura alla data di pagamento del contratto a termine.

Ora c'è una differenza tra i parametri di "stima" e quelli di "calibrazione": il primo richiede un approccio statistico/econometrico e un insieme di valori osservati della variabile aleatoria o processo aleatorio. Si stimano i parametri e si costruiscono gli intervalli di confidenza in modo da scartare l'ipotesi nulla formulata su quanto si sta modellando.

Quando vuoi calibrare i tuoi parametri, stai semplicemente minimizzando la differenza tra una funzione predeterminata di quei parametri e alcune quantità osservate che tale funzione dovrebbe recuperare. I due approcci sono completamente diversi: la calibrazione di un modello è totalmente ortogonale al vero processo di generazione dei dati né si ottiene alcun tipo di modo per valutare la qualità delle proprie ipotesi.

Detto questo, non esiste una formula di opzione SABR almeno nello stesso senso della formula di Black e Scholes: esiste un'approssimazione della volatilità implicita della formula Black-76 in funzione dei parametri SABR . Per essere molto precisi ci sono molte approssimazioni (vedi riferimenti) sia per la volatilità implicita della formula Black-76 che per la volatilità implicita di Bachelier (o Normale). Per semplificare le cose, mi concentrerò sulla volatilità del Black-76.

Permettere$F_0$,$K$e$T$essere rispettivamente il prezzo a termine di oggi, la scadenza residua dell'opzione e il prezzo di esercizio dell'opzione. Allora la volatilità implicita è una quantità

$$\sigma^{Black}_{Market}(K,F_0,T) : Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}_{Market}(K,F_0,T)) = MarketPrice(K,T)$$

dove$Black$è il prezzo dell'opzione Black-76 (omettendo call/put perché la volatilità teorica è identica). Ora seguendo i riferimenti hai qualche funzione

$$\sigma^{Black}(K,F_0,T) = \sigma^{Black}_{SABR}(\alpha_0(T), \beta(T), \nu(T), \rho(T), K; F_0, T) + error$$

tale che$$Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}_{Market}(K,F_0,T)) \simeq Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}_{SABR}(K,F_0,T)) $$

Quindi, per calibrare i parametri (salterò le complessità della calibrazione vera e propria) devi:

Trova un insieme di prezzi di opzioni di tipo europeo per diversi strike su un contratto Forward con una data scadenza (nota infatti che i parametri sono corretti solo per quella specifica scadenza dell'opzione)
Calcolare la volatilità implicita di tali prezzi
Trova i parametri$\alpha_0(T), \beta(T), \nu(T), \rho(T)$che riducono al minimo la differenza tra l'approssimazione della volatilità SABR e le volatilità implicite estratte dai prezzi di mercato.
Ora hai calibrato il modello SABR.

Nota come il modello SABR non è in realtà un "modello": è una parametrizzazione pratica della superficie di volatilità implicita, valuterai comunque le tue opzioni utilizzando la formula Black-76.

La vera utilità del SABR è calcolare le sensibilità delle opzioni corrette dal sorriso (le cosiddette greche) che puoi vedere migliora la tua varianza di copertura. Si noti infatti che questo è il nome dell'articolo originale di Hagan.

Come per la tua ultima domanda: la volatilità di un future (o forward qualunque cosa per quello che conta) non è la stessa dello spot . È solo nel caso in cui si ammettano tassi di interesse completamente deterministici, ma questo non ha senso (soprattutto nel caso di opzioni sui tassi di interesse). In ogni altro caso la volatilità dei prezzi (o tassi) forward è data dalla combinazione delle varianze del sottostante e dei tassi di attualizzazione (nonché dell'eventuale covarianza).

Tra l'altro questo è uno dei motivi per cui il trading di opzioni su contratti a termine è così diffuso: la volatilità implicita già "contiene" la suddetta combinazione, quindi non è necessario stimare/calibrare separatamente le volatilità e le correlazioni.