C'è più di un solido pseudo-catalano?
Questa domanda è stata posta su MSE un anno fa. La motivazione per questa domanda può essere trovata in altre domande MSE qui , qui o qui .
I solidi convessi possono avere tutti i tipi di simmetrie:
i solidi platonici sono vertici e facce transitivi, il che significa che esiste un sottogruppo delle rotazioni dello spazio tridimensionale che può portare qualsiasi vertice su un altro (e lo stesso per le facce). L'elenco è limitato ai 5 solidi platonici.
I solidi transitivi (o isoedrici) di faccia comprendono i solidi catalani, la (famiglia infinita) dei dipiramidi e la (famiglia infinita) dei trapezoedri. Si noti che senza ulteriori restrizioni questi solidi possono venire in infinite famiglie: il dodecaedro rombico ha un numero infinito di cugini deltoidali (vedi dodecaedro deltoidale ); rientra anche in una famiglia di dodecaedri a un parametro chiamata piritoedri ; il dodecaedro e il tetraedro triakis rientrano nella famiglia ad un parametro chiamata tetartoide ; dipiramidi e trapezoedri ammettono anche tutti i tipi di deformazioni oltre al numero di facce.
c'è una simmetria molto più debole che si può chiedere. Chiamiamolo pseudo-catalano (per mancanza di un nome migliore). Correggi un "centro"$C$. Il solido convesso è pseudo-catalano, se ciascuna faccia può essere inviata a un'altra faccia mediante una rotazione con il centro$C$ o un riflesso (il cui piano passa attraverso $C$). Si noti che non è necessario che questa rotazione (+ riflessione) preservi l'intero solido. Un esempio di un tale solido che non è un solido catalano è l' icositetraedro deltoidale gyrate .
Domanda: esiste un elenco di solidi pseudo-catalani ma non catalani? [Più disperatamente: esiste un tale solido accanto all'icositetraedro deltoidale rotante?]
- si noti che ci sarebbe un'ultima categoria, dove il solido è convesso e tutte le facce sono congruenti (un solido monoedrico convesso). La differenza con la categoria precedente è che le traduzioni sono ora consentite. In particolare, per verificare che un solido appartenga alla categoria precedente, la scelta di$C$(e il fatto che tutte le rotazioni e riflessioni siano vincolate da questo punto) è importante. Esempi di tali solidi sono il prisma triangolare triaumentato e la dipiramide quadrata giroscopica .
Risposte
Questa è solo una versione dettagliata dei commenti.
Come ha sottolineato M. Winter , esiste una famiglia di poliedri con$4k$-facce che si adattano al conto ($k=5$è l'icosaedro). Ecco un'immagine per il caso$k=4$ e $k=6$.
Inizia con un antiprisma su un file $k$-gon (diciamo l'inferiore $k$-gon ha vertici con coordinate $(e^{i \pi (2j+1)k},0)$ e i vertici superiori $(e^{i \pi 2j k},h)$ dove $0 \leq j <k$ e $h$è un numero reale; Sto usando numeri complessi per$x$ e $y$coordinate). Incolla una piramide su ciascuno$k$-gon (la punta delle piramidi è a $(0,0,s)$ e $(0,0,h -s)$. Il centro$C$ è a $(0,0,\tfrac{h}{2})$.
Affinché i triangoli siano congruenti si può scrivere $h$ come una funzione di $s$ (suo $h = \tfrac{ 2\cos(\pi/k)-1+s^2}{2s}$). Se$k>3$, richiedendo che ogni faccia si trovi alla stessa distanza da $C$ (es $C$ sarà il centro di una sfera) fisserà un valore di $s$ (suo $=\sqrt{2\cos(\pi/k)+1}$). Il punto delle facce a cui minimizza la distanza$C$ sono [piuttosto, sembrano essere] il circumcentro dei triangoli (controllato solo per $k=4,6$ e $7$ [Ero troppo pigro per fare l'algebra per il generale $k$]).
Da lì ne consegue che questi solidi sono pseudo-catalani (non possono essere catalani [se $k \neq 5$] poiché i vertici all'estremità delle piramidi hanno grado $k$ mentre gli altri vertici hanno grado 5. Quindi non c'è simmetria globale che manda una faccia dalle piramidi all'antiprisma.
Tenderei a credere che questi solidi siano in una famiglia più ampia con triangoli scaleni. Un costrutto simile basato sui trapezoedri (invece che sui dipiramidi) sarebbe divertente (ma al momento non ho idea di come farlo).
EDIT: il caso $k=3$è singolare: se costringi i piani delle facce a toccare l'insfera, ottieni un trapezoedro (le cui facce sono rombi; cioè i triangoli della piramide si allineano perfettamente con quelli dell'antiprisma). Se usi ulteriormente il parametro rimanente in modo che il punto più vicino a$C$ è lo stesso su ogni faccia [triangolare], in realtà dà il cubo (!).
Ecco un altro (e si spera più semplice) esempio (anche se definitivamente non un elenco completo di possibili solidi). Prendi un$k$-dipiramide (i vertici equatoriali hanno $xy$-coordinate quali sono $k^\text{th}$-radici di unità e $z=0$). Lascia che le punte delle piramidi siano all'altezza$(0,0,\pm 1)$. quando$k$ è pari (così $k \geq 4$), si può tagliare questa piramide lungo il piano che attraversa le punte e le radici dell'unità $\pm 1$. Questo taglia la dipiramide lungo un quadrato. Ora ruota uno dei due pezzi di 90 ° e incollali di nuovo insieme. I solidi risultanti (che, presumo, dovrebbero essere chiamati dipiramidi girate) soddisfano le condizioni richieste.
Per vedere che questi non sono solidi catalani (a meno che $k=4$, che è solo prendere l'octaeder, tagliarlo e rimontarlo) basta osservare che ci sono due tipi di facce: quelle che toccano il quadrato dove è avvenuto l'incollaggio e le altre.
Ecco alcune immagini per $k=6$ e $k=8$.
