Campi intermedi dell'estensione semplice $\mathbb{C}(x)$

Question

Permettere $\mathbb{C}(x)$ essere il campo delle funzioni razionali $\mathbb{C}$. Naturalmente$\mathbb{C}(x)$ è un'estensione di campo di $\mathbb{C}$. La mia domanda ora è: ci sono campi intermedi tra$\mathbb{C}$ e $\mathbb{C}(x)$? In caso affermativo, cosa possiamo dire della loro dimensione? È sempre infinito?

Answer 1

Un riepilogo dei commenti (escluse le reunioni risulta che dovrebbero essere pubblicati separatamente!) Di seguito $K$ sta per un campo intermediario arbitrario strettamente intermedio, $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$.

1. Perché $\Bbb{C}$è algebricamente chiuso, non ha estensioni algbereiche. Quindi nessuna estensione finita. Perciò$[K:\Bbb{C}]=\infty$.
2. D'altra parte, se $u=f(x)/g(x)$ è un elemento arbitrario di $K\setminus\Bbb{C}$, $f,g\in\Bbb{C}[x]$, poi $x$ è uno zero del polinomio $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ Perciò $x$ è finita algebrica $K$. Quindi$[K(x):K]<\infty$. Ma,$K(x)=\Bbb{C}(x)$, quindi possiamo concludere che $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$. Non si può dire altro, come lo vediamo facilmente$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ per ogni numero intero positivo $n$, quindi il grado di estensione può essere arbitrariamente alto.
3. Dal teorema di Lüroth ogni campo intermedio$K$ è in realtà una semplice estensione trascendentale di $\Bbb{C}$. In altre parole,$K$ è $\Bbb{C}$-isomorfo a $\Bbb{C}(x)$.