Campi quantistici come operatori differenziali
A quanto ho capito, inizialmente c'erano due formalismi per QM, prima che Dirac li riunisse entrambi con la sua famosa notazione di braket:
Il formalismo di Schrödinger che coinvolgeva operatori differenziali che agivano sulle funzioni d'onda,
Il formalismo di Heisenberg che coinvolgeva operatori lineari che agiscono sui vettori.
Ora, se consideriamo un campo scalare $\phi$, il campo quantistico $\hat{\phi}$è un operatore quindi agisce sui kets. Abbiamo un'espressione esplicita di$\hat{\phi}$ in termini di operatori di annientamento e creazione $a_{\mathbf {p} }$ e $a_{\mathbf {p} }^\dagger$:
$$ \hat{\phi} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p }{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^\dagger e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).$$
Gli operatori di creazione e annichilazione provengono dagli operatori di creazione e annichilazione dell'oscillatore armonico. Questi possono essere espressi in termini di operatori di posizione e quantità di moto, che hanno un'espressione e un termine di operatori differenziali. Quindi c'è un modo per visualizzare$\hat{\phi}$come un operatore differenziale che agisce sulle funzioni d'onda (come il formalismo di Schrödinger)? Allo stesso modo di$\hat{\mathbf{P}} = -i\hbar\nabla$per esempio? C'è della letteratura su questo?
Risposte
Bene, dato un CCR di pari tempo teorico sul campo $$ [\hat{\phi}({\bf x},t),\hat{\pi}({\bf y},t)]~=~i\hbar {\bf 1}~ \delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}),$$ esiste la corrispondente rappresentazione di Schrödinger $$\hat{\pi}({\bf x},t)~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta \phi({\bf x},t)}, \qquad \hat{\phi}({\bf x},t)~=~\phi({\bf x},t),$$ che scrive il campo della quantità di moto $\hat{\pi}({\bf x},t)$come derivata funzionale . Vedi anche il funzionale Schrödinger .
Non tutti gli operatori possono essere rappresentati come una forma differenziale: lo spin è un buon esempio.
Tuttavia, la differenza tra il formalismo di Heisenberg e quello di Schrödinger non era quella degli operatori differenziali rispetto alle matrici. Schrödinger ha costruito un'immagine della meccanica quantistica coerente basata sull'equazione delle onde (che ha ricevuto il suo nome) - meccanica delle onde , mentre Heisenberg ha costruito la meccanica delle matrici , in cui la dinamica è stata descritta dall'equazione del moto di Heisenberg per gli operatori. La differenza è simile a quella tra le equazioni di Hamilton-Jacobi e le parentesi di Poisson nella meccanica classica. La meccanica quantistica si riferisce ancora piuttosto fedelmente a questa distinzione usando i termini immagine di Schrödinger e immagine di Heisenberg per le situazioni in cui la dipendenza dal tempo è trasportata rispettivamente dalle funzioni d'onda e dagli operatori.
Penso di sapere cosa stai chiedendo, quindi risponderò con alcune idee approssimative che potrebbero aiutarti a ottenere alcune informazioni.
Ogni spazio di Hilbert separabile è isomorfo isometrico a uno spazio $L^{2}(\mathbb{R}^n)$. Se ho uno spazio di Hilbert separabile$X$, permettere $i:X\rightarrow L^2(\mathbb{R^n})$essere l'isomorfismo. Se$A$ è un operatore su $X$ poi $A'$ è un operatore su $L^2 (\mathbb{R}^n)$ dove $A' = i A i^{-1}$. Ciò fornisce una corrispondenza tra operatori su vettori astratti e operatori su funzioni.
La differenza principale tra le immagini di Heisenberg e di Schrödinger è che in Heisenberg, vediamo gli operatori come mutevoli nel tempo, mentre nell'immagine di Schrödinger gli operatori sono fissi e gli stati stessi dipendono dal tempo. In altre parole, nel quadro di Heisenberg abbiamo uno spazio degli stati fisso$X$ e abbiamo alcuni operatori $A(t)$che agiscono su di esso. Il$A(t)$ è una rappresentazione di gruppo nel senso che $A(t + s) = U(s)A(t)U(s)^{-1}$ per qualche trasformazione unitaria $U(s)$ che dipende senza problemi $s$. Nella teoria quantistica dei campi ci spostiamo da una dimensione del tempo a quattro dimensioni dello spazio-tempo. Quindi dovremmo fare in modo che gli operatori si trasformino come$A(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})A(x^{\mu})U(s^{\mu})^{-1}$.
Nel quadro di Schrödinger pensiamo che gli stati abbiano dipendenza dal tempo. Quindi, c'è una curva$\psi: \mathbb{R} \rightarrow X$che rappresenta l'evoluzione dello stato nel tempo. Anche questo deve trasformarsi unitariamente in modo che$\psi(t + s) = U(s) \psi(t)$. Ora gli operatori sono visti come fissi. Nello scenario QFT possiamo ancora trattare gli operatori come fissi e pensare agli stati come aventi dipendenza sia dallo spazio che dal tempo. scriverò$\psi(x^{\mu})$ma non confonderlo con la funzione d'onda convenzionale. Per un dato punto nello spazio-tempo,$\psi(x^{\mu})$è esso stesso un vettore astratto in uno spazio di Hilbert separabile. Oppure possiamo considerarlo in modo equivalente come una funzione su uno spazio geometrico (come lo spazio degli spostamenti di un oscillatore armonico). Abbiamo una rappresentazione unitaria U del gruppo di Lorentz in modo che$\psi(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})\psi(x^{\mu})$. Ora gli operatori di momentum e di posizione sono operatori fissi.
Il QFT tradizionale utilizza effettivamente qualcosa come l'immagine di Heisenberg che ho affermato sopra. Tuttavia è possibile formularlo in modo tale che un "campo" sia visto come una funzione che prende punti spazio-temporali come input e funzioni come output. Questo è forse più simile a un campo classico. Assegna una funzione d'onda a ciascun punto nello spaziotempo. Quindi gli operatori di quantità di moto e posizione agiscono in modo puntuale in ciascuna posizione.