Capire lo spazio Fock

Question

Cominciamo con una singola particella spazio di Hilbert $H$ con base $\{|\alpha\rangle\}$, dove $\alpha$rappresenta un insieme completo di numeri quantici. Se ora prendiamo due particelle dello stesso tipo, dobbiamo considerare lo spazio$$H_2=H_1\otimes H_1,$$ e più in generale $n$ le particelle vivono $$H^{\otimes n}=H_1\otimes...\otimes H_1.$$ Lo spazio (libero) di Fock è ora definito prendendo la somma diretta $$\mathcal{F(H)}:=\bigoplus_{n\ge 0} H^{\otimes n}.$$ Capisco perché prendiamo i prodotti tensoriali: desideriamo descrivere l'intero sistema di $n$particelle allo stesso tempo. Tuttavia, non mi è affatto chiaro perché dobbiamo prendere anche la somma diretta. Qual è la sua interpretazione fisica?

Answer 1

Considera particelle identiche. Considera anche prima solo una singola particella nel tuo sistema. Questo "settore di 1 particella" è descritto dallo spazio di Hilbert$H_1$. Questo è il primo termine,$n=1$, nella somma diretta che hai scritto. ($n=0$può essere probabilmente ignorato.) Consideriamo ora due particelle. Lo spazio di Hilbert di questo sistema è$H_1 \otimes H_1$. Questo è il secondo termine della somma diretta. E così via. I settori con un numero diverso di particelle sono indipendenti e quindi si prende la somma diretta su di essi.