Come calcolare $S^{(2)}(E / \mathbb{Q}))$ a partire dal $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})$ e $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})$?
Sto guardando l'esempio 4.10 (dal capitolo X) del libro di Silverman "The Arithmetic of Elliptic Curves" 2a edizione, che tratta la Discesa tramite due isogenesi (proposizione 4.9). L'esempio riguarda l'informatica$E(\mathbb{Q}) / 2 E(\mathbb{Q})$ per la curva $$ E: y^2 = x^3 - 6x^2 +17x .$$ La curva che è $2$-isogeno a $E$ è $$ E' : Y^2 = X^3 + 12X^2 - 32X .$$
Abbiamo la solita isogenesi $\phi: E \to E'$ e doppia isogenia $\hat \phi : E' \to E$ con $\hat \phi \circ \phi = 2$ (le formule esatte sono definite nella proposizione 4.9).
Lo calcola $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) = \{ \pm 1, \pm 2\}$ e $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) = \{ 1, 17 \}.$
Vorrei calcolare il file $2$-Gruppo Selmer $S^{(2)}(E / \mathbb{Q})$, e da quello che ho capito ho bisogno di combinare le due informazioni precedenti in qualche modo (in modo simile a come puoi combinare $E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))$ e $E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))$ ottenere $E(\mathbb{Q}) / 2E(\mathbb{Q}))$. Qualcuno potrebbe spiegare come posso fare per farlo?
PS Mi sento abbastanza sopraffatto da questo libro in generale, quindi se ho sbagliato tutto per favore fatemelo sapere.
Risposte
Nel tuo esempio, le informazioni rilevanti di cui hai bisogno sono l'osservazione X.4.7 e il fatto che $$E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))=S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})=\{ \pm 1, \pm 2\} \text{ and } E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))=S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})=\{ 1, 17 \},$$ poiché i gruppi di Tate-Shafarevich rilevanti sono banali, l'identificazione tramite "the $x$-coordinate "(ad eccezione dei due punti di torsione $(0,0)$).
Quindi abbiamo l'osservazione X.4.7 che lo dice $$ E'(\mathbb Q)[\hat \phi]/\phi(E(\mathbb Q)[2])\to E'(\mathbb Q)/\phi(E(\mathbb Q)) \to E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) \to E(\mathbb Q)/\hat \phi (E'(\mathbb Q)) \to 0$$ è esatto, essendo il secondo morfismo $\phi$.
Adesso, $$E'(\mathbb Q)/\hat \phi(E(\mathbb Q)) =\langle\ \overline{(0,0)}\ , \ \overline{(8,-32)}\ \rangle$$ e la mappa $\phi$ invia $(0,0)$ per $0$ (il punto all'infinito) (questo è ovviamente generale, poiché $\phi$ è l'invio di 2 isogeni $(0,0)$ per $0$) e invia $(8,-32)$ a un elemento $\phi(8,-32)$, no $2$-torsion (che ti ho lasciato calcolare).
Così $$S^{(2)}(E/\mathbb Q)=E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) =\langle\ \overline{\phi(8,-32)}\ , \ \overline{(0,0)}\ \rangle.$$ Ora puoi usare la descrizione che ti piace degli elementi di $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$.
Modifica : nel caso generale, esiste una sequenza esatta naturale$$\to S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) \to 0$$ ma non sono sicuro di cosa mettere nel lato sinistro.
Un modo possibile per capire questa sequenza è osservarlo $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ è il gruppo di rivestimenti Galois non incorniciati di $E$ con il gruppo Galois "$E[2]$"(e con punti localmente ovunque), e la 2-isogenesi proviene da a $\mathbb Z/2\mathbb Z \subset E[2]$: la mappa $ S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) $ corrisponde alla mappa "fissata dal $\mathbb Z/2\mathbb Z$", come nella solita teoria dei campi di Galois.
La mappa $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ corrisponde a vedere ogni copertura di Galois senza cornice $\psi:D\to E'$ di $E'$ con il gruppo Galois $\mathbb Z/2\mathbb Z$ ad una copertura di Galois di $E$ attraverso $\phi$, ie $\phi\circ \psi:D\to E'\to E$.