Come calcolare una var della somma di due coefficienti nella regressione lineare [duplicato]

Dec 30 2020

Essenzialmente dopo aver eseguito la regressione su tre variabili,

$$ y = a_0 + a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + a_3 \cdot x_3 $$

Voglio trovare la varianza per $a_1+a_2$per ottenere CI. Logicamente, penso di poterlo fare

$$\text{Var}(a_1+a_2)=\text{Var}(a_1)+\text{Var}(a_2)+\text{Cov}(a_1,a_2)$$

e calcolare la covarianza di due normali perché dai risultati del modello conoscerei media e varianza $a_1$ e $a_2$e sono distribuiti normalmente in modo asintotico.

  1. Sono bloccato su come ottenere la covarianza di due normali RV. Qualche guida?
  2. Esiste un codice semplice per calcolarlo in Python o R?

Risposte

1 Leafstar Dec 30 2020 at 10:52

puoi usare vcov(model)in R per trovare la matrice di covarianza.

a = rnorm(100)
b = rnorm(100,1,1)
c = rnorm(100,2,2)
y = rnorm(100,3,1)
m1 = lm(y~a+b+c)

Supponi di avere un modello lineare $y = \beta_1 \cdot a + \beta_2 \cdot b + \beta_3 \cdot c+\epsilon$ dove $a, b, c$sono i regressori, quindi puoi utilizzare il codice sopra per adattarlo al modello. Quindi digita semplicemente vcov(m1), puoi ottenere la matrice varianza-covarianza.

> vcov(m1)
              (Intercept)             a             b             c
(Intercept)  0.0236168925  0.0008928804 -0.0072752173 -0.0048195656
a            0.0008928804  0.0089417637 -0.0007706158 -0.0005058700
b           -0.0072752173 -0.0007706158  0.0084035744  0.0002730054
c           -0.0048195656 -0.0005058700  0.0002730054  0.0022051924

Quindi puoi usare la formula ordinaria per ottenere il CI.

btw: $\text{Var}[X+Y] = \text{Var}[X] + \text{Var}[Y] + 2 \cdot \text{Cov}[X,Y]$