Come dimostrare che ODE è separabile

Question

Ho un ODE:$$xy'= y+2x^3 \sin\big(\frac{y}{x}\big)^2.$$Devo dimostrare che questo è separabile. Ho introdotto una funzione u = y/x. Quindi usando DivideSidese Simplifyho ottenuto la seguente equazione:$$(ux)'= u+2x^2 \sin\big(\frac{y}{x}\big)^2.$$

Ora devo usare la regola del prodotto per il lato sinistro dell'equazione e ottenere una forma di ODE separabile. Come posso fare ciò?

Answer 1

Perchè no

1. Sostituire$u=y/x$a livello di programmazione:

   x y'[x] == y[x] + 2 x^3*Sin[y[x]/x]^2 /. y -> Function[x, u[x] x] // FullSimplify
   

$$2 x^2 \sin ^2(u(x))=x u'(x)$$

1. Esprimi la derivata nella notazione di Leibniz (puoi selezionare l'output e premere Ctrl+ Shift+ Tper trasformare in pretty TraditionalForm):

   % /. {u[x] -> u, u'[x] -> Dt[u]/Dt[x]}
   

$$2 x^2 \sin ^2(u)=\frac{x du}{dx}$$

1. Moltiplica entrambi i lati:

    MultiplySides[%, Dt[x]/x/Sin[u]^2, Assumptions -> Dt[x]/x/Sin[u]^2 != 0]
   

$$2 x dx=\csc ^2(u)du$$