Come forzare Mathematica a semplificare questa espressione?

Question

Ho la seguente espressione $$2^{1-2 n^2} \left(3-\sqrt{5}\right)^{-n-1} \left(\sqrt{5}-1\right)^{n (n+1)} \left(\sqrt{5}+1\right)^{n^2}$$

Questo può essere semplificato in $$\left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)\right)^{n+2}$$

Ma

 FullSimplify[2^(1 - 2*n^2)*(3 - Sqrt[5])^(-1 - n)*(-1 + Sqrt[5])^(n*(1 + n))*(1 + Sqrt[5])^n^2, n > 0]

restituisce non valutato

È interessante notare che il rapporto tra queste due espressioni è semplificato:

FullSimplify[2^(1 - 2*n^2)*(3 - Sqrt[5])^(-1 - n)*(-1 + Sqrt[5])^(n*(1 + n))*((1 + Sqrt[5])^n^2 / ((1 + Sqrt[5])/2)^(n + 2)), n > 0]
(* 1 *)

Answer 1

È lì che posso portarlo:

expr1 = 2^(1 - 2*n^2)*(3 - Sqrt[5])^(-1 - n)*(-1 + 
      Sqrt[5])^(n*(1 + n))*(1 + Sqrt[5])^n^2;
expr2 = expr1 /. (-1 + Sqrt[5])^(n (1 + n)) -> a*(-1 + Sqrt[5])^n^2 //
    Simplify;
expr3 = expr2 /. a -> (-1 + Sqrt[5])^n;
expr4 = expr3 /. (3 - Sqrt[5])^(-1 - n) -> a*(3 - Sqrt[5])^-n // 
   Simplify[#, n > 0] &;
expr5 = expr4 /. a -> (3 - Sqrt[5])^-1;
expr6 = Simplify[expr5/(3 + Sqrt[5]), n > 0]*(3 + Sqrt[5])

 (*   2^(-1 - n) (1 + Sqrt[5])^n (3 + Sqrt[5])   *)

Divertiti!

Answer 2

Il seguente codice risolve il mio problema:

Simplify[FullSimplify[ExpToTrig[
2^(1 - 2*n^2)*(3 - Sqrt[5])^(-1 - n)*(-1 + 
Sqrt[5])^(n*(1 + n))*(1 + Sqrt[5])^n^2]] /. {1 + Sqrt[5] -> 
2 GoldenRatio, 3 + Sqrt[5] -> 2*GoldenRatio^2}]

 (* GoldenRatio^(2 + n) *)

Tuttavia, in generale, Mathematica non riesce a semplificare le espressioni contenenti GoldenRatio. Ho dovuto integrare la base di conoscenza con le sostituzioni.

Grazie a tutti per il vostro impegno!