Come interpretare questo limite q-binomiale

Question

Nel corso Cousera di combinatoria enumerativa il docente afferma:

$\lim_{m\to\infty} \begin{bmatrix} m+n\\ n \end{bmatrix}_q = \lim_{m\to\infty}\frac{(1-q^{m+1})\cdot(1-q^{m+2})\cdots(1-q^{m+n})}{(1-q)\cdot(1-q^2)\cdots(1-q^n)} = \frac{1}{(1-q)\cdot(1-q^2)\cdots(1-q^n)}$.

Ora chiaramente in un senso di analisi convenzionale questo va bene $|q|<1$, ma qui abbiamo a che fare con serie di potenze formali e il risultato è destinato a valere per la variabile formale $q$. In effetti il ​​lato sinistro può essere pensato come la funzione generatrice per i diagrammi di Young che si adattano a un rettangolo con larghezza$n$ e altezza infinita che concorda con il lato destro, che è la funzione generatrice di partizioni fino a un massimo di $n$ summands.

La mia domanda è: come possiamo capire questo limite?

Answer 1

$\left(1-q^{m+1}\right)\cdot\left(1-q^{m+2}\right)\cdots\left(1-q^{m+n}\right) = 1 -q^mP(q),\text{ with } P\in\mathbb{Z}[q]$ quindi il limite è $1$ per il $q$topologia -adic di $\mathbb{Z}[[q]]$

Answer 2

Per le serie di potenze, la frase $\lim_{n\to\infty} f_n(q)=f(q)$ significa questo, per tutti $k\in \mathbb N$, esiste un file $N\in \mathbb N$ così che $$ n\ge N\implies [q^k]f_n(q)=[q^k]f(q) $$ A parole, per ciascuno $k$, il coefficiente di $q^k$ nel $f_n(q)$ alla fine deve corrispondere al coefficiente di $q^k$ nel $f(q)$. Da$$ {n+m \brack n}_q=\frac{1-q^{m+1}+(\text{higher powers of }q)}{(1-q)\cdots(1-q^n)} $$ ne consegue che il primo $m$ coefficienti di ${n+m \brack n}_q$ sarà d'accordo con quello di $\frac1{(1-q)\cdots(1-q^n)}$.