Connessione su bundle pullback.

Question

Permettere $E\to N$ essere un pacchetto vettoriale e $f:M\to N$essere una mappa fluida. Il pullback$f^*:\Omega^k(N,E)\to \Omega^k(M,f^*E)$ è quindi definito da $$(f^*\omega)_x(v_1,...,v_k)=\omega_{f(x)}((df)_x(v_1),...,(df)_x(v_k))$$ con $x\in M$ e $v_1,...,v_k\in T_xM$.

Prima domanda : come posso riscrivere questo pullback come mappa$f^*\omega:\mathfrak{X}(M)\times...\times \mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*E)$? Il mio problema è quello$df:\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(N)$ è ben definito purché $f$è un diffeomorfismo. Tuttavia,$df:\mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*TN)$ è effettivamente ben definito.

Quindi, so che la connessione $f^*\nabla$ su $f^*E\to M$ è determinato in modo univoco da $$(f^*\nabla)(f^*s):=f^*(\nabla(s))\in \Omega^1(M,f^*E)$$

Seconda domanda: in alcuni libri ho visto la notazione$$(f^*\nabla)_X(f^*s)=f^*(\nabla_{df(X)}(s))=\nabla_{df(X)}(s)\circ f$$ ma fintanto che $f$ non è un diffeomorfismo $df(X)$ non è un campo vettoriale attivo $N$ quindi non ha senso scrivere $\nabla_{df(X)}$. Come posso risolvere questo problema?

Answer 1

Per scrivere il pullback globalmente come una mappa di moduli, è necessario dividere la costruzione in due parti. Per rendere tutto meno confuso, lasciatemi indicare con$f^{\star}(E)$ il pacchetto pullback e denotare con $\mathfrak{X}_f(M) = \Gamma(M,f^{\star}(TN))$ campi vettoriali lungo $f$. Quindi, le mappe e le costruzioni coinvolgono$\star$ non hanno nulla a che fare con la derivata mentre le mappe coinvolgono $*$includere il derivato. Adesso,

1. Dato un modulo $\omega \in \Omega^k(N,E)$, otteniamo un elemento $f^{\star}(\omega) \in \Gamma \left( \operatorname{Alt}^k \left( f^{\star}(TN), f^{\star}(E)\right) \right)$ dato da $$ f^{\star}(\omega)|_p \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right) = \omega_{f(p)} \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right)$$ dove $\xi_i \in \mathfrak{X}_f(M)$ sono campi vettoriali lungo $f$ così che $\xi_i(p) \in T_{f(p)}N$e la formula ha senso. A livello globale, ciò corrisponde a una mappa alternata di$C^{\infty}(M)$-moduli $$f^{\star}(\omega) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \dots \mathfrak{X}_f(M) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E)).$$
2. Inoltre, hai la mappa $df \colon \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}_f(M)$. Poi$$ f^{*}(\omega)(X_1, \dots, X_k) = f^{\star}(\omega)(df(X_1), \dots, df(X_k)). $$

Per quanto riguarda la seconda domanda, la formula $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = \nabla_{df(X)}(s) \circ f $$ è da intendersi localmente come $$ \left( f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) \right)|_{p} = \left( \nabla_{df|_{p}(X)}(s) \right) \textrm{ (at }f(p)\textrm{)}.$$ Ha senso anche quando $f$ non è un diffeomorfismo come connessione $\nabla_X(s)$ è tensoriale in $X$variabile. Puoi anche comprendere la formula a livello globale suddividendo la costruzione della connessione pullback in due parti:

1. C'è una mappa $f^{\star}(\nabla) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ dato da $$ \left( f^{\star}(\nabla)_{\xi} \right)(s)|_{p} = \left( \nabla_{\xi(p)} s \right)|_{f(p)}. $$
2. La connessione pullback $f^{*}(\nabla)$ è la connessione unica $f^{*}(\nabla) \colon \mathfrak{X}(M) \times \Gamma(f^{\star}(E)) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ che soddisfa $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = f^{\star}(\nabla)_{df(X)}(s). $$