Continuità di $f$ a $x=0$

Question

Potresti aiutarmi con la seguente domanda dal calcolo di Adam?

Permettere $$ f(x) = \begin{cases} x, & \text{if } x=1, 1/2, 1/3, \ldots \\ x^2, & \text{otherwise.} \end{cases} $$ È continuo a $x=0$?

Secondo la definizione di continuità, non è continua a $x=1/2, 1/3, 1/4, \ldots$ A $x=0$ è continuo, ma non riesco a capire come sia continuo a $x=0$ quando i valori di $f$ si stanno avvicinando $0$a due differenti velocità. Voglio dire, in qualsiasi intervallo contenente$x=0$ci sono punti in cui la funzione è discontinua. È sufficiente affidarsi alla definizione di continuità?

Answer 1

Permettere $\epsilon>0$essere arbitrario. Di proprietà di Archimede esiste un$n\in\mathbb N$ tale che $\epsilon>1/n$. Permettere$\delta=1/n$.

Adesso molla $|x|<\delta$essere arbitrario. Se$x=1/m$ per alcuni $m\in\mathbb N$, poi $|f(x)-f(0)|=1/m<1/n<\epsilon$.

Altrimenti, $|f(x)-f(0)|=x^2\le |x|<\delta=1/n<\epsilon$.

Quindi, $f$ è continuo a $x=0$.

Answer 2

È sufficiente notare che per $|x|<1$, hai $$ |f(x)-0| \leq x \to 0, \quad x\to 0 $$ Questo implica che $\lim_{x\to 0} f(x)=0=f(0)$, e quindi $f$ è continuo a $x=0$.

Answer 3

Non esiste un "tasso" di avvicinamento. Niente si avvicina da nessuna parte.

La funzione è continua a $a$ se, per ogni $\varepsilon>0$, lì esiste $\delta>0$ tale che, per $|x-a|<\delta$, Tiene $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.

Nel tuo caso, $|f(x)|<\varepsilon$ è la disuguaglianza da dimostrare.

Ne abbiamo bisogno $1/n<\delta$ implica $1/n<\varepsilon$, quindi un primo tentativo è scegliere $\delta=\varepsilon$. Tuttavia, abbiamo bisogno anche di questo$|x|<\delta$ implica $|x^2|<\varepsilon$ per punti non della forma $1/n$. OK, scegliamo$$ \delta=\min(\varepsilon,1) $$ Ora se $1/n<\delta$, poi $1/n=|f(1/n)|<\varepsilon$. Per gli altri punti,$$ |f(x)|=|x^2|<|x|<\delta\le\varepsilon $$ e abbiamo finito.