Continuità uniforme VS Continuità.

Question

La funzione $f,g : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ soddisfa il $(1)$ & $(2)$. Spettacolo$\exists \lim \limits_{x \to 0^+} f(x)$

$(1)$ $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x)$

$(2)$ $\forall a,b \in (0,\infty) $, $\vert f(b) - f(a) \vert \leq \vert g(b) - g(a)\vert $

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Ecco il mio tentativo.

Dire $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x) = L$. Poi$\exists \delta>0$ $s.t.$ $0 <x <\delta \Rightarrow \vert g(x) -L \vert < {\epsilon \over 2}$

Tener conto di $0 <x,y <\delta $ Poi, $\vert g(x)-g(y)\vert \leq \vert g(x)-L \vert + \vert g(y)-L \vert < \epsilon$

Quindi da $(2)$, $\vert f(x) - f(y) \vert \leq \vert g(x) - g(y)\vert < \epsilon $.

Ho concluso il $f$ è uniformemente continua $(0, \delta)$. Perciò,$\exists \lim \limits_{x \to 0^+} f(x)$

Ma nel mio gruppo di studio, il mio collega ha sottolineato ciò che ho sbagliato. Egli ha detto, "$\delta $ dipende da $\epsilon$. Quindi questa non è la definizione della continuità uniforme ". E ha suggerito la definizione della continuità e della continuità uniforme (o dei limiti). Ha affermato" Quando il caso della continuità uniforme,$\delta$ non dipende da $\epsilon$." basato sul $(4)$

$(3)$ Definizione della continuità su $(a,b)$ : " $\forall \epsilon > 0,\; { \forall x,y\in (a,b)} \exists \delta>0 \;\; : \lvert x - y\rvert< \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert <\epsilon$"

$(4)$ Definizione di Uniformly continuity on $(a,b)$ : "$ \forall \epsilon > 0,\;{\exists \delta>0 \; \forall x,y\in (a,b)} \; : \lvert x - y\rvert< \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert <\epsilon$"

A differenza del suo pensiero, gran parte dell'esercizio nel libro di testo, primo caso relativo al $(3)$(o la dimostrazione dell'esistenza dei limiti) Di solito troviamo $\delta = \delta(x,\epsilon)$ a seconda delle due variabili $x$ e $\epsilon$. (Quando il caso limite $0 < \vert x -y \vert < \delta $). Inoltre, il caso relativo al$(4)$, Di solito troviamo il file $\delta =\delta(\epsilon)$ a seconda di $\epsilon$. Per chiarire maggiormente la mia domanda, lasciatemi fare un semplice esempio.

$e.g.)$ Spettacolo $f(x) = x^2$ è uniformemente continua $D = [0,2]$

Quando prendiamo il $\delta= {\epsilon \over 4}$, Poi, $\exists \delta= {\epsilon \over 4}$ $s.t.$ $\vert x-y \vert < \delta$ $\Rightarrow$ $\vert f (x) -f(y) \vert = \vert x-y \vert \vert x+y \vert < {\epsilon \over 4}$.

Quindi a mio parere il file $\delta$ dovrebbe dipendere da $\epsilon$considerando la definizione della continuità uniforme. Nel mio pensiero, non riesco a capire completamente l'affermazione del mio collega e su quale punto mi sbagliavo.

Per favore aiutami a trovare il mio errore nella mia soluzione. Inoltre la sua affermazione è giusta? E perché regge?

Grazie.

Answer 1

Tu dici

Dire $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x) = L$. Poi$\exists \delta>0$ $s.t.$ $0 <x <\delta \Rightarrow \vert g(x) -L \vert < {\epsilon \over 2}$

Ma non hai definito come $\epsilon$viene raccolto. Il tuo collega ha ragione. implicitamente, hai selezionato$\epsilon$. Sarebbe molto meglio affermarlo esplicitamente: per$\epsilon >0$...

Quindi, come ha detto il tuo collega, il file $\delta$ definito sopra dipende da $\epsilon$. Quindi, alla fine, non hai dimostrato una continuità uniforme. Hai appena dimostrato che per un file$\epsilon$ che selezioni, hai un intervallo $(0,\delta_\epsilon)$ per cui hai $$\vert f(x) - f(y) \vert \leq \vert g(x) - g(y)\vert < \epsilon $$ per $x,y \in (0,\delta_\epsilon)$.

Il problema è che come $\epsilon$ diminuisce, $\delta_\epsilon$può anche diminuire. Alla fine, le disuguaglianze saranno valide solo per tutti$\epsilon$ in un intervallo vuoto ... che non ha interesse.

Answer 2

Devi scegliere un ϵ prima della mano. Sia ϵ> 0, solo allora devi assicurarti di trovare sempre un δ per il quale valgono le disuguaglianze. Hai ragione nel senso che δ dovrebbe dipendere da ϵ, è implicito nella definizione di continuità uniforme come hai detto, la differenza tra le due continuità è il fatto che δ non dipende dalla tua scelta di x, ma δ dovrebbe di sicuro dipende da ϵ. Devi solo assicurarti che ϵ non venga fuori dal nulla e che sia scritto prima che stiamo scegliendo ϵ> 0, quindi, una volta fissato quel valore di ϵ, se riusciamo sempre a trovare δ che funziona, il la prova dovrebbe andare bene. Ma è molto importante che tu scelga ϵ prima di ogni altra cosa, altrimenti tutto cade a pezzi (questo vale per qualsiasi definizione di convergenza in generale)