Converge a un limite diverso

Question

Esiste uno spazio metrico $(\mathbb{R}, d)$ tale che la sequenza $\{\frac{1}{n}\}$ converge a $3?$

Ecco una sequenza di risposta che converge a diversi limiti

Ho provato questo: Let $A=\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\}, B=3+A$. Lascia pure

$f(x)= \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} x & x\notin A\cup B \\ x+3 & x\in A \\ x-3 & x\in B \end{array} \end{array} $

e $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$. Quindi la sequenza converge a 3

Answer 1

Sì, questa è una costruzione di successo!

In generale, se $(M,\delta)$ è uno spazio metrico e $f\colon \Bbb R\to M$ è una qualsiasi funzione iniettiva, quindi $d(x,y)=\delta(f(x),f(y))$ definisce una metrica su $\Bbb R$, chiamato "pullback" di $\delta$ per $\Bbb R$. (L'idea è di misurare le distanze "laggiù" vedendo quali sono le distanze delle immagini "laggiù".) La tua costruzione è un caso speciale di questo, con$M =\Bbb R$ e $\delta$ essendo la solita metrica su $\Bbb R$.

(In effetti, i pullback sono definiti per qualsiasi set, non solo $\Bbb R$.)