Cosa è $(A\Delta B) \cap (A\Delta C)$ ??

Question

Cosa è $$(A\Delta B) \cap (A\Delta C)$$ senza usare un diagramma di Venn.

Il mio tentativo: abbiamo $$(A\Delta B) \cap (A\Delta C)$$ $$\implies ?? $$

per favore ho bisogno di aiuto provato regole (commutative, associative, distributive) per ∩ e ∪ e conosco il risultato (ho usato la tabella della verità) ma voglio la dimostrazione

Answer 1

Notare che $$x \in A \Delta B \cap A \Delta C \iff x \in [(A -B)\cup(B-A)] \cap [(A -C)\cup(C-A)].$$ Ma $$ x \in [(A -B)\cup(B-A)] \cap [(A -C)\cup(C-A)] \iff x \in [(A-B) \cap (A-C)] \cup [(B-A) \cap (C-A)]. $$ Da $$(A-B) \cap (A-C)=(A \cap B^c) \cap(A\cap C^c)=A\cap B^c \cap C^c$$ e $$(B-A) \cap (C-A)= (B \cap A^c) \cap(C \cap A^c)=A^c \cap B\cap C$$ ce l'abbiamo $$ x \in A \Delta B \cap A \Delta C \iff x \in [A\cap B^c \cap C^c] \cup [A^c \cap B\cap C]. $$