costruzione dell'omotopia

Question

Permettere $X,Y$ essere spazi topologici e $f,g:X \rightarrow Y$essere mappe continue. Supponiamo$f,g$ sono omotopici mediante un'omotopia $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. Permettere$\gamma$ essere un percorso in $Y$ con endpoint $y_0=f(x_0)$ e $z_0=g(x_0)$ definito da $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
Permettere$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ essere un loop in $X$ con $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
Vorrei mostrare che i percorsi$f \circ \alpha$ e $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ sono omotopici di percorso costruendo un'omotopia $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
lo so$\gamma$ induce un cambiamento dell'isomorfismo del punto base $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ dato da $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ per tutti $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
Non so come costruire questa omotopia$G$ in particolare, ma so che deve soddisfare quanto segue: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$

Answer 1

TEOREMA: Lascia $h:X \to Y$essere una funzione continua. Se$α,β$ sono percorsi omotopici in $X$ poi $hoα$ e $hoβ$ sono omotopici in $Y$.
Ci è stato dato che esiste una mappa continua$H:X×I \to Y$ tale che $H(x,0)=f(x)$ e $H(x,1)=g(x)$.
Quindi per mostrare quei percorsi$foα$ e $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ sono omotopici in cui dobbiamo cercare percorsi $X×I$ tale che la loro immagine sotto H sia $foα$ e $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
Permettere$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. Quindi$p$ e $c \ast q \ast \hat c$sono i nostri percorsi obbligatori.
Adesso molla$G:I×I \to X×I$ essere definito come $G(s,t)=(α(s),t)$. Ora, se possiamo trovare percorsi in$I×I$ tale che la loro immagine sotto G sia $p$ e $c \ast q \ast \hat c$ abbiamo finito perché questo significa $p$ e $c \ast q \ast \hat c$sono omotopici.
Permettere$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ and $d(s)=(s,0)$.
It can be seen that $d$ and $a \ast b \ast \hat c$ are the required paths. Now since both these paths $d$ and $a \ast b \ast \hat c$ have the same initial and terminal point and since $I×I$ is simply connected they are homotopic. Implies $p$ and $c \ast q \ast \hat c$ are homotopic implies $foα$ and $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ are homotopic.