Determina il numero di soluzioni come $a$ e $b$ modificare.

Question

Considera questo primo sistema lineare.
\ begin {cases} ax_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + ax_2 = 0 \\ 2x_1 + (1 + a) x_2 = a \ end {cases}
Utilizzando l'eliminazione gaussiana sulla matrice associata, ho finito con quanto segue.

$$A = \left[ \begin{array}{cc} 1&a&0\\ 0&-2-a&a\\ 0&1-a^2&0 \end{array} \right] $$

In base a quello che ho fatto, il sistema dovrebbe avere una soluzione unica per $a= \pm1$ o $a = 2$e nessun altro. Tuttavia dovrebbe essere la risposta corretta secondo il libro$a\neq\pm1$per una soluzione unica, altrimenti nessuna soluzione. Ho studiato le custodie dei libri e non importa quante volte ci provo mi sembra di risolvere correttamente questi due sistemi.

Considera ora questo secondo sistema lineare. \ begin {case} 4x_1 + x_2 = 8 \\ 3ax_1-2x_2 = 0 \\ 5x_1 + 2x_2 = 5 \\ -x_1 + 7bx_2 = 8 \ end {case}

Che non riesco a risolvere correttamente.
Ecco uno dei miei tanti tentativi di risolvere il primo sistema.

Si prega di aiutare e utilizzare$x$ e $y$ invece di $x_1$ e $x_2$(per non renderlo imbarazzante per voi ragazzi). Grazie molto!

Answer 1

Il sistema di equazioni originale: $$ \begin{cases} ax_1+x_2=0\\[4pt] x_1+ax_2=0\\[4pt] 2x_1+(1+a)x_2=a\\ \end{cases} $$ La matrice aumentata: $$ \left[ \begin{array}{cc|c} a&1&0\\ 1&a&0\\ 2&1+a&a\\ \end{array} \right] $$ Quindi, scambia $r_1,r_2$. . .$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&a&0\\ a&1&0\\ 2&1+a&a\\ \end{array} \right] $$ Quindi, effettua le sostituzioni:$\;r_2=r_2-ar_1\;\;\;$e$\;\;\;r_3=r_3-2r_1\;$. . .$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&a&0\\ 0&1-a^2&0\\ 0&1-a&a\\ \end{array} \right] $$ Da quanto sopra, vediamo che se $a=1$, riga $3$ potrebbe diventare $[0\;\;0\;\;1]$, quindi per $a=1$, il sistema non ha soluzioni.

Quindi supponi $a\ne 1$.

Quindi, scambia $r_2,r_3$: $$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&a&0\\ 0&1-a&a\\ 0&1-a^2&0\\ \end{array} \right] $$ Quindi, effettua la sostituzione:$\;r_3=r_3-(1+a)r_2\;$. . .$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&a&0\\ 0&1-a&a\\ 0&0&-a^2-a\\ \end{array} \right] $$ Successivamente, per il miglioramento estetico, effettua la sostituzione:$\;r_3=-r_3\;$. . .$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&a&0\\ 0&1-a&a\\ 0&0&a^2+a\\ \end{array} \right] $$ Dall'alto, guardando la riga $3$, ne consegue che non ci sono soluzioni se $a^2+a\ne 0$.

Ne consegue che per tutti i valori di $a$ eccetto $a=0, a=-1$, non ci sono soluzioni e per questi due valori di $a$, il sistema ha una soluzione unica (ottenuta utilizzando le prime due righe della matrice ridotta).