Differenza geometrica tra differenziali esatti e inesatti
Supponiamo di avere una superficie che ha una funzione esplicita $ z(x,y)$ quindi possiamo scrivere l'equazione della superficie attorno a un punto $ (x_o,y_o)$ come:
$$ \Delta z = \frac{\partial z}{\partial x}_{y} \Delta x + \frac{ \partial z}{\partial y}_{x} \Delta y$$
L'immagine geometrica di questo è la seguente:
Considera il $ z-x$ piano, in esso abbiamo una sezione trasversale della superficie per un fisso $y$ valore di $y_o$, per questa curva possiamo scrivere la variazione di altezza mentre ci muoviamo $\Delta x$ come $ (\frac{ \partial z}{\partial x})_y \Delta x$ e allo stesso modo possiamo sostenere l'idea alla base dell'addizione del secondo termine nella somma considerando il $ z-y$ aereo.
Ora, dalla mia comprensione se abbiamo un differenziale inesatto, allora è un'espressione di forma:
$$ f(x,y) = A dx + B dy$$
Quindi questo non può davvero essere considerato come un differenziale perché non possiamo trovare una superficie data da una funzione esplicita $z$ per cui :
$$ (\frac{\partial z}{\partial x})_y = A$$
e,
$$ (\frac{ \partial z}{\partial y})_x = B$$
Ora, possiamo capire se un differenziale è esatto o inesatto considerando le derivate parziali miste:
$$ \frac{ \partial^2 z}{ \partial y \partial x} = \frac{ \partial^2 z}{ \partial x \partial y}$$
Se l'uguaglianza di cui sopra è valida, allora è esatta, altrimenti non lo è. Un modo semplice per pensare a questo è pensare ai differenziali come alle forme uniche di un campo vettoriale. Ora, il campo vettoriale avrebbe una funzione potenziale solo se il differenziale è esatto e questa condizione è equivalente al campo vettoriale con ricciolo zero.
Ora, quello che non capisco è come l'idea sopra sopra l'idea di arricciatura, campi vettoriali ecc. Qual è esattamente la natura di una superficie data da un differenziale inesatto, voglio dire, so che una superficie corrispondente ad essa non esiste, ma cosa succederebbe se solo 'saldassimo' insieme tutti i piani di approssimazione in punti diversi$x$ e $y$ in qualche modo?
Risposte
In generale, vogliamo cercare un fattore di integrazione $f$ in modo che il differenziale $1$-modulo $\omega = A\,dx + B\,dy$ diventa esatto una volta moltiplicato per (la funzione nowhere-zero) $f$. Questa è una nozione standard all'inizio dei corsi di equazioni differenziali. In aereo, ogni volta$\omega$non sta scomparendo da nessuna parte c'è sempre (almeno localmente) un fattore di integrazione. Nelle dimensioni superiori, questo non è il caso.
Tuttavia, una volta apprese le forme differenziali, scoprirai che la condizione necessaria (e localmente sufficiente) è avere $$\omega\wedge d\omega = 0.$$Questo è un semplice caso del teorema di integrabilità di Frobenius. Se questa condizione fallisce, non ci sono affatto varietà integrali, quindi non è possibile "saldare" in alcun modo significativo.
NOTA : in dimensione$3$, Posso riaffermare questo criterio per te senza forme differenziali. Se il tuo errore differenziale$\omega = A\,dx+B\,dy+C\,dz$, definire un campo vettoriale $\vec F = (A,B,C)$. Quindi la condizione di integrabilità diventa$$\vec F\cdot\text{curl}\,\vec F = 0.$$
Ma la tua domanda è molto più specifica. Non stai chiedendo curve integrali di$\omega$. Stai chiedendo esplicitamente superfici in$\Bbb R^3$ su cui abbiamo $dz=\omega$. Quindi, chiediamo di integrare invece l'equazione differenziale$\eta = dz - \omega = 0$. Si applica lo stesso criterio di integrabilità che ho indicato in precedenza$\eta$. Vogliamo$d\eta \wedge\eta = 0$. Ecco qua$\omega = A\,dx + B\,dy$ dove $A$ e $B$ sono funzioni di $x$ e $y$solo. Così$d\eta = d(dz)-d\omega = -d\omega$ e $d\eta\wedge\eta = -d\omega\wedge (dz-\omega) = -d\omega\wedge dz$ (perché $d\omega \wedge\omega = 0$ automaticamente, essendo un $3$-formare $\Bbb R^2$). Ma$d\omega\wedge dz = 0$ se e solo se $d\omega = 0$, quindi non c'è speranza di integrabilità a meno che non abbiamo iniziato con una forma chiusa.
C'è un argomento standard "fisica-y" qui. Se provi a creare una superficie integrandoti lungo percorsi$\gamma$ a partire da $(x_0,y_0)$ e andando a $(x,y)$, vale a dire impostando $$z = \int_{\gamma} \omega,$$ trovi che due percorsi diversi $\gamma$ e $\gamma'$ (dallo stesso punto base allo stesso punto) restituiscono lo stesso integrale esattamente quando $$\int_\gamma \omega = \int_{\gamma'} \omega.$$ Se lo lasci $\Gamma$ essere la regione nel piano delimitato da $\gamma - \gamma'$, allora teorema di Green te lo dice $$\int_\gamma \omega - \int_{\gamma'} \omega = \int_\Gamma d\omega,$$che sarà diverso da zero (in generale) per un differenziale non esatto. Quindi non puoi costruire una superficie ben definita.