Differenza tra $\forall n\in\mathbb N$ e $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$
Davvero confuso sulla differenza tra $\forall n\in\mathbb N$ e $\bigcap_{i=1}^\infty$.
In Understanding Analysis, cito dall'Esercizio 1.2.13. quello
Si è tentati di fare appello all'induzione per concludere $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.
ma l'induzione non si applica qui. L'induzione viene utilizzata per dimostrare che un'affermazione particolare vale per ogni valore di$n\in\mathbb N$, ma questo non implica la validità del caso infinito.
Ho fatto alcune ricerche su questo per un po 'e ho capito che alla fine il fatto che posso segnalare a $n\in\mathbb N$ significa che $n$è finito. Quindi, non può essere applicato al caso infinito.
Sì, capisco la logica. Ma se$\forall n \in\mathbb N$ non funziona, allora cosa funziona per dimostrare un caso infinito?
Così come mi sento a mio agio per la differenza. La confusione viene nuovamente sollevata dal libro e cito di seguito, nella speranza di renderlo il più breve possibile:
La proprietà intervallo annidato presuppone che each $I_n$ contiene $I_{n+1}$. Sono una sequenza annidata di intervalli chiusi definiti come tali.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.
La dimostrazione si concentra sulla ricerca di un unico numero reale x che appartiene a tutti $I_n$ e sostiene che è supA.
Nella dimostrazione, ha detto $x\in I_n$, per ogni scelta di $n\in\mathbb N$. Quindi,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ e l'intersezione non è vuota.
Fammi sapere se sono necessari i dettagli persi. Tuttavia, il mio punto è proprio questo:
- Perché nella regola dell'infinito de Morgan $\forall n\in\mathbb N$ non si applica a $\infty$
- Perché nella proprietà dell'intervallo annidato $\forall n\in\mathbb N$ si applica a $\infty$
Risposte
$\forall n\in\Bbb N$ non si applica mai a$\infty$, perché $\infty$ non è un elemento di $\Bbb N$. Nel teorema dell'intervallo annidato non c'è $I_\infty$. Quello che sappiamo è questo$x\in I_n$ per ciascuno $n\in\Bbb N$, e quindi per definizione $n$ è nell'intersezione degli insiemi $I_n$. Potresti chiamare questo incrocio$I_\infty$ se tu volessi farlo, sarebbe una scelta arbitraria del tutto indipendente dall'argomento di induzione che coinvolge gli insiemi $I_n$; potresti anche chiamarlo George. (Molti anni fa un mio amico ha infatti pubblicato un articolo su un oggetto matematico che ha chiamato George.)
Quanto alla legge di De Morgan, la si dimostra per famiglie arbitrarie di insiemi semplicemente mostrando che ogni lato dell'identità proposta è un sottoinsieme dell'altro. Questo viene fatto per famiglie di insiemi indicizzati arbitrariamente qui e in questa risposta (e probabilmente anche in altri posti in MSE). La dimostrazione non dipende dal teorema per famiglie finite di insiemi e non comporta alcun tipo di induzione.
La regola di De Morgan funziona per set infiniti. Ma questo non può essere dimostrato inducendo sulla versione finita della regola di De Morgan, poiché l'induzione è uno strumento per provare che un'affermazione è vera per un valore arbitrariamente grande di$n$ (ma $n$ è ancora finito).
Quanto all'intersezione di un numero infinitamente numerabile di insiemi, ciò segue dalla definizione. Lo diciamo noi$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ iff $x \in I_n$ per tutti $n \in \mathbb N$.