Differenziare $x^x$ "direttamente"

Question

So che il derivato è $x^x\log x+x^x$, ma l'ho ottenuto usando la differenziazione logaritmica. È possibile ottenerlo "direttamente" senza inserire log o esponenziali?

Answer 1

C'è un bel trucco usando il calcolo multivariabile che in qualche modo è più naturale: se scrivi $f(y, z) = y^z$ e $g(x) = (x, x)$ per la mappa diagonale, quindi $x^x = f(g(x))$. Ora il differenziale di$f$ a un certo punto $(y, z)$ è $(z y^{z-1}, y^z \log y)^T$ e il differenziale di $g$ è solo $(1,1)$, quindi dalla regola della catena la derivata di $x^x$ è $x x^{x-1} \cdot 1 + x^x \log x \cdot 1 = x^x(1+\log x)$.

Answer 2

Presumo che ciò che intendi sia differenziare dai principi primi, piuttosto che usare$$y:=x^x\implies\ln y=x\ln x\implies y^\prime/y=(x\ln x)^\prime.$$Devi valutare$$\begin{align}\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{x+h}-x^x}{h}&=x^x\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln x}(1+h/x)^x(1+h/x)^h-1}{h}\\&=x^x\lim_{h\to0}\frac{(1+h\ln x+o(h))(1+h+o(h))(1+O(h^2))-1}{h}\\&=x^x(\ln x+1).\end{align}$$

Answer 3

Se $y$ e $z$ sono funzioni di $x$, quindi la derivata totale di una funzione $f(y,z)$ riguardo a $x$ equivale $$ \frac d{dx} f(y,z) = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dx}. \tag{*} $$ Da questo fatto di calcolo multivariabile, possiamo derivare diverse regole di differenziazione del calcolo a una variabile:

• Prendendo $f(y,z) = yz$, noi abbiamo $\frac{\partial f}{\partial y} = z$ e $\frac{\partial f}{\partial z} = y$e quindi (*) diventa la regola del prodotto $$ \frac d{dx}(yz) = z \frac{dy}{dx} + y \frac{dz}{dx}. $$
• Prendendo $f(y,z) = \frac yz$, noi abbiamo $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac1z$ e $\frac{\partial f}{\partial z} = -\frac y{z^2}$, e così (*) diventa la regola del quoziente $$ \frac d{dx}\bigg( \frac yz \bigg) = \frac1z \frac{dy}{dx} -\frac y{z^2} \frac{dz}{dx} = \frac{z \frac{dy}{dx} - y \frac{dz}{dx}}{z^2}. $$
• Infine, prendendo $f(y,z) = y^z$, noi abbiamo $\frac{\partial f}{\partial y} = zy^{z-1}$ e $\frac{\partial f}{\partial z} = y^z\log y$, e così (*) diventa $$ \frac d{dx}(y^z) = zy^{z-1} \frac{dy}{dx} + y^z\log y \frac{dz}{dx}. $$ In particolare, setting $y=x$ e $z=x$, così che $\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}=1$, produce $$ \frac d{dx}(y^z) = x\cdot x^{x-1} 1 + x^x\log x\cdot 1 = x^x(1+\log x). $$

Questo sfruttamento della derivata totale aiuta anche con i derivati ​​di espressioni come $\int_a^x f(x,t)\,dt$, e aiuta a spiegare perché queste regole molto diverse hanno tutte la forma "fingere tutte tranne una delle funzioni di $x$ sono costanti, uno alla volta, e sommate tutti quei finti derivati ​​per ottenere il derivato effettivo ".

Answer 4

Ritenere,

$$f(x) = x^x$$

Poi,

$$ f(x+h) = (x+h)^{x+h} = x^{x} x^h ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h}$$

Ora, considera la maggior parte dei termini tra parentesi,

$$ ( 1 + \frac{h}{x})^{x+h} = 1+ (x+h) \frac{h}{x} + \frac{ (x+h)(x+h-1)}{2!} ( \frac{h}{x})^2...= 1+h+ O(h^2)$$

E,

$$ x^{h} = e^{( h )\ln x} = 1 + h \ln x +O \left(h^2\right)$$

Quindi,

$$ f(x+h) = x^x \left[ 1 + h \ln x +O \left(h^2\right) \right] \left[ 1+h+ O(h^2) \right] = x^x [1+h \left( 1+ \ln x \right) +O(h^2)] = x^x + hx^x (1+\ln x) +O(h^2) $$

Con la definizione che la derivata è variazione del primo ordine,

$$ f'(x) = x^x (1+ \ln x)$$

Riferimento