Dimostra che A è matrice zero

Question

Permettere$A$fagiolo$n×n $matrice complessa tale che le tre matrici$A+I$,$A^2+I $,$ A^3+I$sono tutti unitari. Dimostralo$ A$è la matrice zero

Provo a mostrarlo

$Trace( A^{\theta}A) =0$dove$A^{\theta }$è la trasposta coniugata della matrice$A$

$\because $ $Trace( A^{\theta}A)$=$|a_{11}|^2 + |a_{12}|^2....|a_{nn}|^2$

$A+I$è unitario, quindi

$(A+I)^{\theta}(A+I)= I $

$\implies (A^ {\theta}+I)(A +I) =I $

$A^ {\theta}A+ A^ {\theta}+A = 0$

$ Trace( A^{\theta}A)= -( Trace( A^{\theta}+A))$ $ \implies Trace( A^{\theta}A)=-2$( somma delle parti reali di ciascuna voce diagonale di A

Non so come procedere ulteriormente Per favore aiutatemi

Answer 1

Si noti che gli autovalori di$A^k + I$sono della forma$\lambda^k + 1$per tutti gli autovalori$\lambda$di$A$. Gli autovalori di una matrice unitaria devono invece avere valore assoluto$1$. Quindi, ogni autovalore$\lambda$di$A$soddisfa$|\lambda^k + 1| = 1$per$k = 1,2,3$.

Io sostengo che l'unico$\lambda$per cui questo vale$\lambda = 0$. Così,$A$ha$0$come unico autovalore.

D'altra parte, perché$A + I$è unitario,$A^\theta A$è normale (in particolare, lo troviamo$A^\theta A = AA^\theta = -A - A^\theta$). Per il teorema spettrale ,$A$è unitariamente diagonalizzabile. Perché$A$è diagonalizzabile con$0$come unico autovalore,$A = 0$.

Answer 2

Da quando$A+I$è unitario,$A$è normale. Quindi è sufficiente dimostrare che il solo autovalore di$A$è$0$.

Da quando$A+I$è unitario, un autovalore di$A$deve essere della forma$z-1$dove$|z|=1$. Gli autovalori corrispondenti di$A^2+I$e$A^3+I$sono allora$(z-1)^2+1$e$(z-1)^3+1$. Si può vedere che l'unico$z$insieme a$|z|=1$e$|(z-1)^3+1|=1$è$1$.