Dimostrando che il set di Cantor è chiuso

Question

Sto cercando di capire la risposta accettata a Dimostrare che l'insieme di Cantor è chiuso (senza usare il fatto "l'intersezione degli insiemi chiusi è chiusa") . Non vedo dove$t$ viene da, né perché $s$ e $t$sono necessariamente positivi e non solo non negativi. Inoltre non vedo come si possa dire "Se$x_n < x$ poi $x_n \leq \sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}+3^{−r}$, da dove $x−x_n \geq s$e allo stesso modo, se $x_n > x$ poi $x_n-x \geq t$". Qualsiasi assistenza nello spiegare i dettagli della prova sarebbe apprezzata.

Answer 1

abbiamo

$$x=0.d_1d_2\ldots d_{r-1}1d_{r+1}\ldots\,,$$

dove ce n'è almeno uno $k>r$ tale che $d_k\ne 0$ e almeno uno $k>r$ tale che $d_k\ne 2$. (Tutte le espansioni qui sono ternarie.) Ciò significa che$x$è rigorosamente tra

$$a=0.d_1d_2\ldots d_{r-1}1=\sum_{k=1}^r\frac{d_k}{3^k}$$

e

$$b=0.d_1d_2\ldots d_{r-1}1222\ldots=0.d_1d_2\ldots d_{r-1}2=\frac2{3^r}+\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}\,.$$

Ora impostiamo

$$s=x-a=\sum_{k\ge r+1}\frac{d_k}{3^k}=x-3^{-r}-\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}$$

e

$$t=b-x=\left(\frac2{3^r}+\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}\right)-x\,;$$

$a<x<b$, così $s,t>0$. Ora abbiamo$a+s=x=b-t$, cioè

$$x=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}+3^{-r}+s=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}+2\cdot3^{-r}-t\,.$$

Notare ora che poiché i membri di $C$ deve avere espansioni ternarie che non contengono $1$, il membro più piccolo di $C$ più grande di $$a=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{d_k}{3^k}+3^{-r}=0.d_1d_2\ldots d_{r-1}1$$ è $0.d_1d_2\ldots d_{r-1}2=b$: non ci sono membri di $C$ che giace rigorosamente tra $a$ e $b$. Ciò significa che se$y\in C$, allora neanche $y\le a$, o $y\ge b$. In particolare, se$x_n<x$, poi $x_n\le a$, così $x-x_n\ge x-a=s>0$, e se $x_n>x$, poi $x_n\ge b$, così $x_n-x\ge b-x=t>0$, semplicemente perchè $x_n\in C$.

Answer 2

Per la tua prima domanda:

Quando scrivono, "Allora $x$ ha un'espansione ternaria contenente una prima cifra $d_r=1$e non tutte le cifre successive $=0$ o tutte le cifre successive $=2$," intendono $x$ assomiglia a qualcosa $0.2202...1...$*

Ma chiariscono che non vogliono essere nella posizione in cui $x=0.2202...1\dot0$ in tal caso avremmo $x\in C$ perché $x=0.2202...0\dot2$. Nemmeno noi lo vogliamo$x=0.2202...1\dot2$ in quale caso $x=0.2202...2\dot0$ così di nuovo $x\in C$.

Pertanto, x è strettamente compreso tra $0.2202...1\dot0$ e $0.2202...1\dot2$ e questa RIGOROSA disuguaglianza ci permette di prendere numeri positivi $s=x-0.2202...1\dot0$ e $t=0.2202...1\dot2-x$.

Per la tua seconda domanda:

Perché $x_n\in C$, e $x_n < x=0.2202...1...$, poi $x_n\le0.2202...\dot0$ altrimenti $x_n$ avrebbe $1$ come suo $r$esima cifra e questo significherebbe $x_n\notin C$.

(* Nota che sto scrivendo usando $0.2202...1...$piuttosto che la notazione sigma per dare un'intuizione alla dimostrazione. Ovviamente la scelta di$2202$ qui è arbitrario.)