distanza tra set chiuso e compatto

Question

il mio professore ci ha fatto questo esercizio:

La distanza di due sottoinsiemi $S_{1}$ e $S_{2}$ di un dato spazio metrico completo $(X, d)$ : $$ d\left(S_{1}, S_{2}\right)=\inf \left\{d(x, y): x \in S_{1}, y \in S_{2}\right\}.$$

a) Supponiamo $S_{1}$ contiene solo un punto $x$ e $S_{2}$è chiuso. Dimostralo$d\left(S_{1}, S_{2}\right)=d(x, y)$ per alcuni $y \in S_{2}$.

b) Supponiamo $S_{1}$ è compatto e $S_{2}$è chiuso. Dimostralo$d\left(S_{1}, S_{2}\right)=d(x, y)$ per alcuni $x \in S_{1}$ $y \in S_{2}$.

Sono riuscito a fare il primo elemento (usando una sequenza di Cauchy e il fatto che X è uno spazio metrico), ma il secondo mi sta dando dei problemi, prima ho provato a usare le sequenze ma non sono andato da nessuna parte, ho anche pensato sul vedere $d$come funzione continua nello spazio del prodotto, ma un compatto x chiuso non è compatto, quindi non posso garantire di ottenere il minimo. Qualsiasi idea aiuterebbe. Grazie.

EDIT: la mia prova di a) If $S_1 \cap S_2 \neq \varnothing$non c'è niente da dimostrare. Se$S_1=\{x\}$, supponiamo che $S_1 \cap S_2 = \varnothing$, quindi possiamo considerare $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ una sequenza tale $y_n \in S_2$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ e tale che $d(x,y_j)\leq d(x,y_i)$ Se $i<j$. Chiaramente$(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ è una sequenza di Cauchy, quindi converge ad a $y \in S_2$ (dovuto al fatto che $S_2$ è chiuso e quindi contiene tutti i suoi punti di accumulo).

Answer 1

Ecco un controesempio di (a) e quindi anche di (b).

Permettere $X$essere l'insieme di tutti gli interi non negativi. Definisci una metrica$d$ sopra $X$ IMPOSTANDO $d(x,x)=0$, $d(0,x)=d(x,0)=1+\frac1x$ per $x\gt0$, e $d(x,y)=2$ per $x,y\gt0$.

Lo spazio metrico $(X,d)$ è completo (ogni sequenza di Cauchy è eventualmente costante) e localmente compatto (la topologia indotta è discreta).

Permettere $S_1=\{0\}$ e $S_2=X\setminus\{0\}$. Poi$d(S_1,S_2)=d(0,S_2)=1$ ma $d(0,y)\gt1$ per ogni $y\in S_2$.

Answer 2

L'affermazione è falsa in generale. Vedi il controesempio nei commenti Tuttavia, è vero se$X$è uno spazio vettoriale topologico in cui le sfere chiuse sono compatte. cioè se$X$ ha quelle che vengono chiamate "belle palle chiuse":

per ogni numero intero $n$ ce n'è una coppia $(x_n,y_n)\in S_1\times S_2$ tale che $d(x_n,y_n)<d(S_1,S_2)+1/n$. Da$d(x_n,y_n)\ge d(S_1,S_2)$ ciò significa che $d(s_n,y_n)\to d(S_1,S_2)$. Da$S_1$ è compatto c'è una sottosequenza $(x'_n)$, di $(x_n),$ che converge ad alcuni $x\in S_1$. Questo è,$x'_n\to x\in S_1$. Nota che in particolare questo significa che$(x'_n)$ è limitato così $d(y'_n,0)\le d(y'_n,x'_n)+d(x'_n,0)<C<\infty.$ Quindi, la palla chiusa $B_{2C}(0)$ è compatto e contiene $(y'_n)$, quindi otteniamo una sottosequenza $(y''_n$) di $(y'_n)$ che converge ad alcuni $y\in B\cap S_2$ (perché $S_2$ è chiuso) .Quindi, ovviamente, $x''_n$ converge ancora a $x$ e così $(x,y)$ è la coppia che fa il lavoro.