Distinzione di hyperreals con set

Question

Permettere $^\ast\mathbb{R}$ essere l'insieme degli hyperreals, costruito come un ultraprodotto non principale sui reali, e lascia $x\in {^\ast\mathbb{R}}$ e $y\in {^\ast\mathbb{R}}$essere due diversi numeri iperreali. C'è sempre un vero set$A\subset\mathbb{R}$ tale che $x \in {^\ast A}$ ma $y\notin {^\ast A}$?

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Questo problema può essere affermato senza menzionare gli iperreali: Let $\mathcal U$ essere un ultrafiltro (non principale) su $\mathbb N$ e lascia $(x_n)$ e $(y_n)$ essere sequenze reali tali che $\{n: x_n \neq y_n\} \in \mathcal U$. C'è un set$A \subset \mathbb R$ tale che $\{n: x_n \in A\} \in \mathcal U$, ma $\{n: y_n \in A\} \notin \mathcal U$?

Non so quasi nulla sull'argomento, quindi ho escluso solo due semplici approcci:

• Se $N:=\{n: x_n \neq y_n\}$, poi $A := \{x_n: n\in N\}$ non deve essere come richiesto: considera, ad esempio, $(x_n) = (0,1,0,1,\dots)$ e $(y_n) = (1,0,1,0,\dots)$ con $N = \mathbb N$ e $A = \{0,1\}$. (Questo approccio potrebbe essere utile se ci fossero alcuni elementi "sufficientemente piccoli"$N\in \mathcal U$ tale che $x_n \neq y_n$ per tutti $n\in N$.)
• Le sequenze $(x_n) = (1/n)$ e $(y_n) = (1/(n+1))$ non sono un controesempio: Let $E$ essere l'insieme di numeri naturali pari e assumere, wlog, $E \in \mathcal U$. Permettere$A := \{1/n: n\in E\}$. Poi$\{n: x_n \in A\} = E \in \mathcal U$ e $\{n: y_n \in A\} = \mathbb N\setminus E \notin \mathcal U$ (da $\mathcal U$ è un ultrafiltro).

Eventuali approfondimenti corrispondenti su hyperreals o ultrafilters sono i benvenuti!

Answer 1

Supponiamo che ogni volta $x=\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ e $y=\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ sono sequenze in $\Bbb N$ tale che $(\mathscr{U}n)(x_n\ne y_n)$, C'è un $A\subseteq\Bbb N$ tale che $(\mathscr{U}n)(x_n\in A)$ e $(\mathscr{U}n)(y_n\notin A)$, dove $(\mathscr{U}n)\varphi(n)$ abbrevia $\{n\in\Bbb N:\varphi(n)\}\in\mathscr{U}$, e lascia $x$ e $y$essere una tale coppia di sequenze. Poi c'è un file$U\in\mathscr{U}$ tale che

$$\{x_n:n\in U\}\cap\{y_n:n\in U\}=\varnothing\,.\tag{1}$$

Visualizzazione $x$ e $y$ come funzioni da $\Bbb N$ per $\Bbb N$, possiamo riscrivere $(1)$ come $x[U]\cap y[U]=\varnothing$. Permettere

$$\mathscr{X}=x(\mathscr{U})=\{X\subseteq\Bbb N:x^{-1}[X]\in\mathscr{U}\}$$

e

$$\mathscr{Y}=y(\mathscr{U})=\{Y\subseteq\Bbb N:y^{-1}[Y]\in\mathscr{U}\}\,;$$

$\mathscr{X}$ e $\mathscr{Y}$ sono attivi gli ultrafiltri $\Bbb N$, $x[U]\in\mathscr{X}$, e $y[U]\in\mathscr{Y}$, così $\mathscr{X}\ne\mathscr{Y}$.

Quindi, $x(\mathscr{U})\ne y(\mathscr{U})$ ogni volta $x\ne y\pmod{\mathscr{U}}$, e $\mathscr{U}$è quindi un ultrafiltro Hausdorff su$\Bbb N$. Sfortunatamente, nel documento al link Bartoszynski e Shelah mostrano che è coerente che non ci siano ultrafiltri Hausdorff su$\Bbb N$, quindi è almeno coerente che la risposta alla tua domanda sia no .