Domanda a semicerchio

Question

Ho bisogno di aiuto con la domanda nell'immagine. Ho solo bisogno di qualcuno che mi aiuti indicandomi la giusta direzione. Non voglio una soluzione completa. Voglio provare a risolvere questa domanda da solo, ma ho solo bisogno di qualcuno che mi indirizzi.

Stavo pensando se la domanda avesse qualcosa a che fare con l'unione dei tre punti nel cerchio in cui il cerchio sta toccando i semicerchi?

O forse questa domanda ha qualcosa a che fare con triangoli simili? So che un angolo sotteso da un arco all'interno di un semicerchio è di 90 gradi.

Answer 1

Suggerimento: puoi provare a utilizzare la versione tangente-secante del teorema della potenza del punto, ricorda che se due cerchi sono tangenti tra loro (internamente o esternamente), i loro centri e il punto di tangenza sono collineari e traccia tutti i raggi possibili.

Answer 2

Il suggerimento:

Risolvi la seguente equazione: $$\sqrt{(1+x)^2-x^2}=1+\sqrt{(2-x)^2-x^2},$$ dove $x$ è un raggio necessario.

Answer 3

SUGGERIMENTO

Prova con un approccio di Circular Inversion che porta a$r=\frac 8 9$.

Answer 4

Lascia che il centro del piccolo semicerchio sia C, il punto sull'AB dove il cerchio tocca tocca è D, p indica il centro del cerchio, E è il punto in cui il cerchio tocca il semicerchio più grande. Le il cerchio tocca il semicerchio più piccolo a T. Sia il raggio del cerchio$r$, poi $$OP=2-r, OD=\sqrt{(2-r)^2-r^2}=\sqrt{4-4r}, CD=\sqrt{(1+r)^2-r^2}=\sqrt{2r+1}.$$ Finalmente, $$CD-OD=1 \implies \sqrt{1+2r}-\sqrt{4-4r}=1 \implies r=8/9.$$

Answer 5

Suggerimento

Cerca di unirti a tutti i centri e punti di contatto.