Domanda pratica su corrispondenze e massimizzazione

Question

Stiamo imparando la Teoria del Massimo. Tendo a lottare con le corrispondenze in questo contesto, quindi sto cercando di elaborare alcune domande pratiche. Inizierò con alcune notazioni generali di un problema di massimizzazione canonica (che può essere trovato dalla lezione di Rajiv Sethi qui , ma ripubblicato di seguito in modo da non dover andare a guardare).

Set di parametri:$\Theta$

Set a scelta:$X$

Funzione obiettivo:$f: X \times \Theta \to \mathbb{R}$

Corrispondenza di vincolo:$\Gamma: \Theta \rightrightarrows X$

Corrispondenza della soluzione:$\Gamma^*(\theta):= argmax_{x \in \Gamma(\theta)} f(x,\theta)$

Il valore massimizzato della funzione obiettivo:$f^*(x, \theta) = \max_{x \in \Gamma(\theta)} f(x,\theta)$

uff.

Ok, ora considera il seguente problema di massimizzazione parametrizzato da$p \in [0,1]$:

$\max_{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}_+^2} x_1 + 5x_2 $

st$px_1 + x_2 \leq 1$

So che possiamo scriverlo nella forma:$f(x,p) = x_1 + 5x_2$e$\Gamma(p) = \{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2_+: px_1 + x_2 \leq 1 \}$. Lo so anche a$\Gamma(0) = \{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2_+: x_2 \leq 1 \}$non ha valore compatto, e quindi non possiamo applicare il teorema del massimo.

Nella soluzione a questa domanda, vedo che la corrispondenza politica ottimale è

$\Gamma^*(p) = \begin{cases} \emptyset & \text{if} \: p = 0 \\ \{(1/p,0)\} & \text{if} \: p = (0, 0.2) \\ \{ (x_1, x_2) \in \mathbb{R}_+^2: 0.2x_1 + x_2 = 1 \} & \text{if} \: p = 0.2 \\ \{(0,1)\} & \text{if} \: p = (0.2, 1] \end{cases}$

In$p = 0$,$\Gamma^*$ha valore vuoto. Per$p>0$ha valore compatto ed emicontinuo superiore. Non riesce ad essere emicontinuo inferiore a$p=0.2$. Sostituendo$\Gamma^*(p)$nella funzione obiettivo, la funzione valore è$f^*(p) = \max \{1/p , 5 \}$.

Non sono sicuro di come, meccanicamente, arrivare alla corrispondenza politica ottimale, poiché non abbiamo fatto nulla del genere in classe e trovo scarsi i materiali di lettura. Apprezzerei davvero se qualcuno potesse guidarmi attraverso i passaggi come se fossi un bambino di 5 anni.

Answer 1

Penso che il modo più semplice sia notare che poiché il problema è in aumento in entrambi gli argomenti, possiamo supporre$px_1 + x_2 = 1$il budget vincola (almeno per$p \not =0$).

Sostituendo il nostro vincolo nella funzione obiettivo, abbiamo:$$ \max_{x_1} x_1 + 5(1 - p x_1) = x_1(1 - 5p) + 5 $$

Se$1 - 5p<0$, scegliamo il più piccolo possibile$x_1$, così$x_1 = 0$e quindi$x_2 = 1$.

Se$1 - 5p = 0$, qualunque$x_1$massimizzerebbe quanto sopra.

Se$1 - 5 p > 0$, scegli il più grande$x_1$possibile, così$x_2 = 0$e$x_1 = \frac{1}{p}$.

Se$p = 0$, non vi è alcun vincolo$x_1$e la tua funzione obiettivo è illimitata$x_1$, quindi sceglieresti tu$x_1 = \infty$, quindi non esiste una soluzione.