È ${G}/\ker(\phi)$ unicamente isomorfo a $\phi(G)$?

Question

Permettere $\phi:G \rightarrow G'$essere un omomorfismo di gruppo. Quindi, dal primo teorema di isomorfismo per i gruppi,$\frac{G}{\ker(\phi)}$ è isomorfo a $\phi(G)$. Per facilità di annotazione, denota$\ker(\phi)$ di $K$. È il "solito" isomorfismo,$\psi: \frac{G}{K}\rightarrow\phi(G)$ definito come $\psi(aK)=\phi(a)$ l'unico isomorfismo?

Answer 1

Come accennato nei commenti sopra, si può semplicemente (a destra) comporre $\psi$ con un automorfismo di $\frac{G}{K}$ (chiama questo $\pi$) e ottenere un isomorfismo, $\psi \circ \pi: \frac{G}{K} \rightarrow G'$. Ogni gruppo con più di due elementi avrà un automorfismo non banale, e possiamo usarlo come$\pi$, ottenendo così un "nuovo" isomorfismo $\psi\circ\pi$. Per i gruppi di ordini uno e due, l'unico automorfismo è l'automorfismo banale / identitario. In tal caso,$\psi$ è l'unico isomorfismo.

Answer 2

Mentre è vero che l'isomorfismo $\psi: G/ \ker(\phi) \to \text{im}(\phi)$ non è l'unico (come detto sopra), il motivo $\psi$ è spesso chiamato "usuale" o "canonico" è che è l'unico isomorfismo (anche omomorfismo) che è compatibile con la proiezione $p : G \to G / \ker(\phi)$ e inclusione $j : \text{im}(\phi) \to G'$.

Esplicitamente, dato l'omomorfismo $\phi : G \to G'$, si può formare il seguente diagramma commutativo.

$ \require{AMScd} \begin{CD} \ker(\phi) @>{i}>> G @>{\phi}>> G' \\ & & @V{p}VV & @AA{j}A \\ & & G / \ker{\phi} @>{\psi}>> \text{im}(\phi) \end{CD} $

Se $f: G / \ker(\phi) \to \text{im}(\phi)$ è qualsiasi altro omomorfismo che fa commutare il diagramma (cioè tale che $j \circ f \circ p = \phi$), perché $p$ è suriettivo e $j$ è iniettivo possiamo cancellare a destra il primo e cancellare a sinistra il secondo dall'equazione $j \circ f \circ p = j \circ \psi \circ p$ per ottenerlo $f = \psi$.