È $\sup_{n\in N} E[X_n] < \infty$?

Question

Ecco il problema:

Permettere {$X_n$}$_{n\geq0}$essere una sequenza decrescente non negativa di RV, ad es$X_n\leq X_{n-1}$,$\forall n \geq1$, tale che$P(0\leq X_0<\infty)=1$.

È vero che$\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$? E se$E(X_0)<\infty?$

Bene, se è vero$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$, allora abbiamo finito da allora$\sup_{n\geq1}X_n=X_1$, e in tal caso possiamo dirlo$\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$Se$E(X_0)<\infty$, dal teorema di convergenza monotona. Quindi direi no alla prima domanda e sì alla seconda.

Ho ragione? è la disuguaglianza$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$generalmente vero per le sequenze monotone?

Come sempre, molte grazie per qualsiasi aiuto.

Answer 1

$EX_n$Sta diminuendo.$sup_{n\geq 1} EX_n=EX_1$Così$sup_n EX_n<\infty$se$EX_1 <\infty$. Ma$P(0\leq X_0 <\infty)=1$non implica questo$EX_1 <\infty$ma se$EX_0 <\infty$poi$EX_1<\infty$anche.