È $Y - E[Y|X]$ indipendente da $X$?

Question

Per due variabili casuali $X$ e $Y$, è $Y - E[Y|X]$ indipendente da $X$? Intuitivamente penso che dovrebbe essere così, poiché il condizionamento dovrebbe includere tutti gli aspetti di$X$ con cui sono aggrovigliati $Y$.

Answer 1

Supponiamo $Y \sim U(-1,1)$ e $X=Y^2$ poi $E[Y \mid X] \equiv 0$, ma $Y$ e $X$ non sono essi stessi indipendenti.

Ciò che è vero è questo $X$ e $Y-E[Y \mid X]$non sono correlati .

A proposito, si può creare una grande famiglia di esempi proprio come questo considerando qualsiasi funzione strettamente crescente $f : [0,\infty) \to \mathbb{R}$ (che sono automaticamente misurabili Borel), essenzialmente qualsiasi $Y$ con distribuzione simmetrica circa $0$, e $X=f(|Y|)$. (Uso la parola "essenzialmente" perché ovviamente lo si deve supporre$E[Y]$ esiste.)

Answer 2

Quelli sono sempre non correlati, anzi

$$ Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X]) = Cov(X,Y) - Cov(X,\mathbb E[Y|X]) $$

Riscrittura come aspettative e utilizzo della proprietà della torre e $X$ misurabilità di $X$, noi abbiamo $$Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X])= \mathbb E[XY] - \mathbb E[X]\mathbb E[Y] - \mathbb E[X\mathbb E[Y|X]] + \mathbb E[X]\mathbb E[\mathbb E[Y|X]]=0$$

Ma prendendo $X \sim \mathcal N(0,1)$, $\varepsilon = \pm 1$ con probabilità $\frac{1}{2}$ indipendente da $X$ e $Y=\varepsilon X$, otterrai $\mathbb E[Y|X] = 0$ quasi sicuramente, ma $X$ e $Y$ non sono indipendenti (considera $X \in (0,1) , Y \in (1,2)$)