Errori nel codice esponente di Lyapunov

Question

Grazie alla risposta di @Chris K penso di aver riespresso correttamente la domanda.

Ho le seguenti equazioni del moto

eqnx = (1/4)*(-((α1*α2*μ*Sin[2*z[τ]]^2)/(α*β*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])^2)) - 
     (α1^2*Sin[z[τ]]^2*(3*α^3 + 2*α^2*β + 3*α*β^2 + 4*μ + 4*(α^3 - α*β^2 - μ)*Cos[2*z[τ]] + α^3*Cos[4*z[τ]] - 2*α^2*β*Cos[4*z[τ]] + 
        α*β^2*Cos[4*z[τ]] - 8*α*(α + β + (α - β)*Cos[2*z[τ]])*x[τ] + 8*α*x[τ]^2))/(2*α^2*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])^2) - 
     (α2^2*Cos[z[τ]]^2*(3*α^2*β + 2*α*β^2 + 3*β^3 + 4*μ + 4*(α^2*β - β^3 + μ)*Cos[2*z[τ]] + α^2*β*Cos[4*z[τ]] - 2*α*β^2*Cos[4*z[τ]] + 
        β^3*Cos[4*z[τ]] - 8*β*(α + β + (α - β)*Cos[2*z[τ]])*x[τ] + 8*β*x[τ]^2))/(2*β^2*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])^2) + 
     Derivative[1][x][τ]^2/(-μ + (α - x[τ])*(β - x[τ])*x[τ]) - ((α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])*(α*β - 2*(α + β)*x[τ] + 3*x[τ]^2)*
       Derivative[1][x][τ]^2)/(μ - α*β*x[τ] + (α + β)*x[τ]^2 - x[τ]^3)^2 + (4*Derivative[1][z][τ]^2)/(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2) + 
     (2*Derivative[1][x][τ]*(Derivative[1][x][τ] + (α - β)*Sin[2*z[τ]]*Derivative[1][z][τ]))/(μ - α*β*x[τ] + (α + β)*x[τ]^2 - x[τ]^3) + 
     (2*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])*Derivative[2][x][τ])/(-μ + (α - x[τ])*(β - x[τ])*x[τ])); 
eqnz = (1/4)*(-((α1*α2*(α - β)*μ*Sin[2*z[τ]]^3)/(α*β*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])^2)) + (8*α2^2*μ*Cos[z[τ]]^3*Sin[z[τ]]*(β - x[τ]))/
      (β^2*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])^2) - (2*α1*α2*μ*Sin[4*z[τ]])/(α*β*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])) + 
     (8*α1^2*μ*Cos[z[τ]]*Sin[z[τ]]^3*(-α + x[τ]))/(α^2*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])^2) - 
     (1/β^2)*8*α2^2*Cos[z[τ]]*Sin[z[τ]]*(Cos[z[τ]]^2*(β - x[τ])^2 + (Sin[z[τ]]^2*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2)*(β - x[τ])^2 + 
         Cos[z[τ]]^2*(-μ + (α - x[τ])*(β - x[τ])*x[τ]))/(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])) + 
     (1/α^2)*8*α1^2*Cos[z[τ]]*Sin[z[τ]]*(Sin[z[τ]]^2*(α - x[τ])^2 + (Cos[z[τ]]^2*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2)*(α - x[τ])^2 + 
         Sin[z[τ]]^2*(-μ + (α - x[τ])*(β - x[τ])*x[τ]))/(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])) + ((α - β)*Sin[2*z[τ]]*Derivative[1][x][τ]^2)/
      (-μ + α*β*x[τ] - (α + β)*x[τ]^2 + x[τ]^3) + (4*(α - β)*Sin[2*z[τ]]*Derivative[1][z][τ]^2)/(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2) + 
     (2*(α - β)*Sin[2*z[τ]]*(α + β + (α - β)*Cos[2*z[τ]] - 2*x[τ])*Derivative[1][z][τ]^2)/(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2)^2 - 
     (8*Derivative[1][z][τ]*(Derivative[1][x][τ] + (α - β)*Sin[2*z[τ]]*Derivative[1][z][τ]))/(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2) + 
     (8*(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2 - x[τ])*Derivative[2][z][τ])/(α*Cos[z[τ]]^2 + β*Sin[z[τ]]^2)); 

Posso risolvere numericamente quanto sopra usando

intl = 0; 
lim = 10^4; 
x0 = 2.; 
rule = {α1 -> 1, α2 -> 2, μ -> 1, α -> 2.85383, β -> 3.18783}; 
sltn = First[NDSolve[{{(eqnx /. rule) == 0, (eqnz /. rule) == 0}, x[intl] == x0, Derivative[1][x][intl] == 0, z[intl] == 0.403, Derivative[1][z][intl] == 0.1}, z, 
     {τ, intl, lim}, Method -> {"BDF"}]]; 
z[τ] /. sltn
plot5 = Show[Plot[Sin[z[τ] /. sltn], {τ, intl, lim}, BaseStyle -> {17, FontFamily -> "Times New Roman"}, AxesLabel -> {"τ", "Sin(θ(τ))"}, AxesStyle -> Thick, 
    PlotRange -> {{0, lim}, {-1.05, 1.05}}, PlotStyle -> Red], ImageSize -> Large]

E dalla trama è chiaro che il sistema è caotico

Quindi ho provato a calcolare l'esponente di Lyapunov utilizzando il codice pubblicato qui . Naturalmente, per farlo, riesprimo le equazioni in un formalismo di primo ordine. Il codice è

eqnxx = {Derivative[1][x][t] == y[t], Derivative[1][y][t] == 
     (y[t] - 0.334*Sin[2*z[t]]*g[t])/(2.85*Cos[z[t]]^2 + 3.19*Sin[z[t]]^2 - x[t]) - 
      (2*(-1 + (2.85 - x[t])*(3.19 - x[t])*x[t])*g[t]^2)/((2.85*Cos[z[t]]^2 + 3.19*Sin[z[t]]^2)*
        (2.85*Cos[z[t]]^2 + 3.19*Sin[z[t]]^2 - x[t])) - 0.5*(1/(2.85*Cos[z[t]]^2 + 3.19*Sin[z[t]]^2 - x[t]) - 
        (9.1 - 12.1*x[t] + 3*x[t]^2)/(-1 + (2.85 - x[t])*(3.19 - x[t])*x[t]))*y[t]^2 + 
      (0.25*(-1 + (2.85 - x[t])*(3.19 - x[t])*x[t])*(0.44*Sin[2*z[t]]^2 + 0.394*Cos[z[t]]^2*
          (237 - 21.7*Cos[2*z[t]] + 0.356*Cos[4*z[t]] - 25.5*(6.04 - 0.334*Cos[2*z[t]] - x[t])*x[t]) + 
         0.123*Sin[z[t]]^2*(213 - 27*Cos[2*z[t]] + 0.318*Cos[4*z[t]] - 22.8*(6.04 - 0.334*Cos[2*z[t]] - x[t])*x[t])))/
       (2.85*Cos[z[t]]^2 + 3.19*Sin[z[t]]^2 - x[t])^3, Derivative[1][z][t] == g[t], 
    Derivative[1][g][t] == (0.0418*Sin[2*z[t]]*(y[t]^2/(-1 + (2.85 - x[t])*(3.19 - x[t])*x[t]) - 
         (4*x[t]*g[t]^2)/(2.85*Cos[z[t]]^2 + 3.19*Sin[z[t]]^2)^2))/(1 - (2*x[t])/(6.04 - 0.334*Cos[2*z[t]])) + 
      (2*y[t]*g[t])/(6.04 - 0.334*Cos[2*z[t]] - 2*x[t]) - (1.5*Sin[2*z[t]])/(1 - (2*x[t])/(6.04 - 0.334*Cos[2*z[t]])) - 
      (0.211 - 0.22*(-1 + (4*(2.85 - x[t])*(3.19 - x[t]))/(6.04 - 0.334*Cos[2*z[t]] - 2*x[t])^2) + 
       (0.491*(2.85 - x[t])^2)/(6.04 - 0.334*Cos[2*z[t]] - 2*x[t])^2 + 
       4*(-0.432 + (0.394*(3.19 - x[t])^2)/(6.04 - 0.334*Cos[2*z[t]] - 2*x[t])^2 + 0.105*x[t]) - 0.117*x[t])}; 

e poi

LyapunovExponents[eqnxx, {x -> 2, y -> 0, z -> 0.403, g -> 0.1}, 
 ShowPlot -> True]

E non appena eseguo il comando finale Mma produce molti errori.

Dopo il commento istruttivo di ChrisK ho provato a eseguire le equazioni del primo ordine utilizzando NDSolve. I seguenti lavori

x0 = 2.3;
aa = First[
  NDSolve[{eqnxx, x[intl] == x0, y[intl] == 0.1, z[intl] == 0, 
    g[intl] == 0}, z, {t, intl, lim}, 
   Method -> {"StiffnessSwitching", "NonstiffTest" -> False, 
     Method -> {"ExplicitRungeKutta", Automatic}}, AccuracyGoal -> 5, 
   PrecisionGoal -> 5], MaxSteps -> Infinity]

Tuttavia, il comando

LyapunovExponents[eqnxx, {x -> 2.3, y -> 0.1, z -> 0, g -> 0}, 
 ShowPlot -> True]

Anche in questo caso restituisce errori.

qualche idea? Ho letto che c'è stata una recente modifica al codice pubblicato qui ma ho utilizzato l'ultimo aggiornamento. Immagino che la vera domanda sia come passare i metodi per NDSolve nel codice originale in cui i comandi sono della forma NDSolveProcessEquations andNDSolveIterate

Answer 1

Penso che il problema sia nelle tue equazioni. In entrambi i casi, si NDSolvearresta con un NDSolve::ndszerrore (la dimensione del gradino è effettivamente zero; si sospetta singolarità o sistema rigido). Se guardi la soluzione che hai sltn, vedrai che non copre l'intera gamma di$\tau$:

La rapida variazione che vedi nel grafico oltre quel punto deriva Sin[z[\[Tau]]dall'essere applicata all'estrapolazione z[\[Tau]]dell'esterno dell'intervallo in cui è definita.