Espressione in forma chiusa per determinante particolare?

Question

Da alcuni giorni sto cercando di trovare un'espressione in forma chiusa per il determinante di quanto segue $n\times n$ matrice tridiagonale

$$\begin{pmatrix}c_1+b_1+a_1 & b_1 & 0 & \ddots & 0 \\ c_2 & c_2+b_2+a_2 & b_2 & \ddots & 0 \\ 0 & c_3 & c_3+b_3+a_3 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\ 0 & ... & ... & c_{n} & c_{n}+b_n +a_n\end{pmatrix}$$

Per le sequenze $c_n$, $b_n$, e $a_n$. Ho scoperto espressioni in forma chiusa per casi speciali. Vale a dire, quando$a_n=0$, il determinante è $$\Big(\prod_{i=1}^nb_i\Big)\sum_{l=0}^n\prod_{k=1}^l\frac{c_{k}}{b_k}$$ quando $l=0$ nella serie di prodotti, che restituisce un $1$. Inoltre, se$c_1=0$, allora il determinante è semplicemente $$\prod_{i=1}^nb_i.$$

Mi piacerebbe davvero trovare una formula analoga nel caso in cui $a_n \neq 0$. A tuo vantaggio elencherò i primi pochi determinanti per piccoli$n$ $$n=1:\quad\quad c_1+b_1+a_1$$ $$n=2:\quad\quad a_1a_2+b_1a_2+a_1b_2+b_1b_2+c_1a_2+c_1b_2+a_1c_2+c_1c_2$$ $$n=3:\quad\quad a_1a_2a_3+b_1a_2a_3+a_1b_2a_3+b_1b_2a_3+a_1a_2b_3+b_1a_2b_3+a_1b_2b_3+b_1b_2b_3+c_1a_2a_3+c_1b_2a_3+c_1a_2b_3+c_1b_2b_3+a_1c_2a_3+a_1c_2b_3+c_1c_2a_3+c_1c_2b_3+a_1a_2c_3+b_1a_2c_3+c_1a_2c_3+a_1c_2c_3+c_1c_2c_3$$

Quando guardi questo, potresti sospettare che sia solo la somma di ogni $n$esimo prodotto dell'ordine di $a$'S $b$è e $c$è senza pedice ripetuto, tuttavia non è così. Per esempio,$b_1c_2$ non appare nel file $n=2$formula. Allo stesso modo ci sono$6$ termini che non compaiono nel file $n=3$ formula.

Apprezzerei davvero il contributo di chiunque su questo!

Answer 1

La tua matrice è una matrice tridiagonale generale, con $d_i:=a_i+b_i+c_i$lungo la diagonale. Se indichiamo il determinante del$n\times n$-matrix di $f_n$, quindi abbiamo la relazione di ricorrenza $$f_n=d_nf_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}f_{n-2}.$$ Non si può dire molto di più per le sequenze generali $b_n$, $c_n$ e $d_n$. Per ulteriori informazioni vedere Wikipedia .

Answer 2

Credo di avere una soluzione esplicita!

Utilizzando il caso che avevo già capito (quando $a_k=0$), possiamo espandere Taylor attorno a questa soluzione. Per finito$n$, questa sarà un'espansione finita.

Per prima cosa definisco la quantità $\theta_{km}$, con $1\leq k,m\leq n$, che soddisfa le seguenti relazioni ricorsive

$$\theta_{km}=(c_m+b_m+a_m)\theta_{k,m-1}-b_{m-1}c_m\theta_{k,m-2},\quad \theta_{kk}=c_k+b_k+a_k,\quad \theta_{k,k-1}=1$$ $$\theta_{km}=(c_k+b_k+a_k)\theta_{k+1,m}-b_{k}c_{k+1}s\theta_{k+2,m},\quad \theta_{mm}=c_m+b_m+a_m,\quad \theta_{m+1,m}=1$$ e $\theta_{km}=0$ quando $k> m+1$ e $m< k-1$.

Nota che questa quantità combina il $\theta_n$ e $\phi_n$che è definito in questo articolo di Wikipedia . E$\theta_{1n}$ è il determinante della matrice.

quando $a_k=0$, questa quantità ha una soluzione esplicita:

$$\theta_{km}=\Big(\prod_{i=k}^mb_i\Big)\sum_{l=k-1}^m\prod_{j=k}^l\frac{c_{j}}{b_j}$$

Usando le relazioni ricorsive, si può dimostrare che questa quantità soddisfa

$$\frac{d\theta_{km}}{da_j}=\theta_{k,j-1}\theta_{j+1,m}$$

Quindi la soluzione generale per diverso da zero $a_k$ è

$$\theta_{1n}+\sum_{k=1}^n\theta_{1k-1}a_k\theta_{k+1n}+\cdots+\sum_{k_1\cdots k_p=1}^n\theta_{1k_1-1}a_{k_1}\theta_{k_1+1,k_2-1}\cdots a_{k_p}\theta_{k_p+1,n}+\cdots+a_1\cdots a_n$$

Dove tutti i file $\theta$sono nell'espressione sopra sono per il caso in cui $a_k=0$.

Per riordinare un po 'di più la formula, lo si può notare $(a\theta)_{nm}=a_n\theta_{n+1,m-1}$è una matrice triangolare superiore nilpotente. Quindi questa formula può effettivamente essere lanciata come

$$\Big(\theta(1-a\theta)^{-1}\Big)_{0n}$$

È il più esplicito che posso fare per ora.