Essere semplicemente connessi è molto raro?
In sostanza, la mia domanda è quanto sia forte una restrizione essere semplicemente collegati.
Ecco un modo per renderlo preciso: diciamo di voler contare i complessi simpliciali (di dimensione 2, anche se non importa molto, qualsiasi dimensione fissa va bene) su N semplici che sono soggetti alle seguenti restrizioni:
R: ogni vertice è contenuto solo in un numero limitato di semplici (diciamo 10000).
B: il complesso è semplicemente collegato.
Quindi correttamente: quanti complessi distinti come questo ci sono? In effetti, voglio solo una risposta approssimativa: è esponenziale in N o è supereesponenziale. Nota che se rimuovo una delle due restrizioni, la risposta è supereesponenziale.
Risposte
Ecco una stima approssimativa che indica che in effetti, in questo modello a "valenza limitata", un complesso simpliciale ha un gruppo fondamentale che non scompare con alta probabilità. In realtà concluderemo qualcosa di più forte: il numero di 2-simplessi è limitato da un'alta probabilità. Penso che questo punti a una carenza del modello "valenza limitata" - intuitivamente mi aspetterei una misura "buona" su complessi simpliciali con$N$ vertici per dirmi che il numero atteso di 2-simplici cresce con $N$.
Permettere $N$ sia il numero di vertici e sia $d$essere il limite al numero di semplici che contengono un dato vertice. Pensiamo a un 2-complesso$X$ in questo modello come segue:
Lo scheletro 1 $X_1$ di $X$ è un grafico con valenza delimitata da $d$e così è stato $\leq Nd/2$bordi. Il suo gruppo fondamentale è un gruppo libero$\leq N(d/2-1)-1$generatori. Supponiamo che$X_1$ è connesso o almeno è dominato da una componente gigante, e che a noi interessa il gruppo fondamentale della componente gigante.
Ora ogni 2-simplex che aggiungiamo può solo ridurre il gruppo fondamentale, quindi potremmo anche aggiungere tutti i 2-simplex possibili e vedere che il risultato non è ancora semplicemente connesso. La probabilità che una data coppia di vertici sia collegata da un bordo è$\sim (Nd/2) / {N \choose 2} \sim d/N$. Quindi, dato un vertice e due archi ad esso collegati, la probabilità che questi entrino in un triangolo è$\sim d/N$. Quindi ogni vertice è contenuto in$\sim {d \choose 2}(d/N) \sim d^3/(2N)$ triangoli, e quindi ci sono un totale di $\sim \frac 1 3 N(d^3/(2N)) = d^3/6$ triangoli.
Cioè, il gruppo fondamentale di $X_1$, che è gratuito su un certo numero di generatori $\sim N(d/2-1)$ crescere con $N$, è quotato da un numero limitato di relazioni$\sim d^3/6$con alta probabilità. Guardando le abelianizzazioni, possiamo vedere che questo implica quello$H_1(X) \neq 0$ e in particolare quello $\pi_1(X) \neq 0$.
Certo, se prendi $d \sim 10000$, quindi il limite al numero di relazioni è di circa un trilione, quindi è necessario esaminare complessi piuttosto grandi prima di vedere emergere questo comportamento :).
Penso che il principale "passaggio non rigoroso" di questo argomento risieda nell'assumere che la probabilità per due vertici $v,w$essere connessi da un bordo non sale quando si condiziona l'evento$v,w$ sono collegati ciascuno a un terzo vertice $u$. Questo mi sembra molto plausibile (semmai la probabilità dovrebbe diminuire un po 'perché una delle possibili$d$-molti vertici per $v$ per essere connesso è occupato da $u$ e allo stesso modo per $w$), ma non sono sicuro di come giustificarlo effettivamente.
Quanto segue non risponde alla tua domanda, ma aggiungi solo nel caso in cui sia utile.
Se si indebolisce "semplicemente connesso" a $H_1(\Delta, \mathbb{Q}) = 0$, e indebolire "ogni vertice è in un numero limitato di bordi" a "il numero medio di triangoli contenenti un bordo è limitato", quindi ci sono molti complessi di questo tipo in modo super esponenziale. Questo è un vecchio risultato di Kalai, sull'enumerazione$\mathbb{Q}$complessi -aciclici. https://link.springer.com/article/10.1007/BF02804017 Ci sono $\exp( cn^2)$ tali complessi, dove $c>0$ è una costante da cui non dipende $n$. Per le ultime novità sull'enumerazione$\mathbb{Q}$-complessi, vedi Linial e Peled: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/rsa.20841
Andrew Newman e io di recente abbiamo mostrato che un tipico $\mathbb{Q}$Il complesso -aciclico (secondo una naturale "misura determinantale") non è semplicemente connesso. Con alta probabilità, il gruppo fondamentale è un gruppo iperbolico di dimensione coomologica 2.https://arxiv.org/abs/2004.13572