Filtro scala Bessel LC
Ho problemi a determinare il valore dei parametri di un filtro ladder LC
Considerare le tabelle disponibili per la progettazione di filtri ladder passa-basso di secondo ordine (prima serie) con una risposta di Bessel. Il filtro è terminato con resistenze su entrambe le estremità con RS = RL / 2. Trova i valori dei parametri dei componenti per ottenere un filtro con \$\tau_0\$ = 0,8 ms e adattato per un resistore di carico di 250 ohm.
Quindi prima ho consultato alcune tabelle di progettazione dei filtri Bessel per ottenere i parametri normalizzati $$R_S=1/2$$ $$L_1=0.2601$$ $$C_2=3.5649$$
Quindi ho eseguito la scalatura dell'impedenza $$R_S=1/2 \times R_L=125 \Omega$$ $$L_1=0.2601 \times R_L=65.025$$ $$C_2=3.5649 \times 1/R_L=0.0142596$$
Tutto ok. Ora il problema arriva quando devo applicare la denormalizzazione della frequenza. Pensavo di dover solo moltiplicare per \$\tau_0\$ portando a:
$$L_1=52.02 \space m H$$ $$C_2=11.49768 \space \mu F$$
Che non è corretto, poiché i valori dovrebbero essere:
$$L_1=38.2 \space m H$$ $$C_2=8.378 \space \mu F$$
Che cosa sto facendo di sbagliato?
Risposte
Hai utilizzato correttamente le tabelle per i carichi I / O, ma ti sei dimenticato di applicare la scala di frequenza, tabella mostrata di seguito:
N | fs
---------
2 | 1.36
3 | 1.75
4 | 2.13
5 | 2.42
6 | 2.7
7 | 2.95
8 | 3.17
9 | 3.39
10 | 3.58
Se dividi i tuoi valori per 1.36vedrai che i risultati corrispondono.
La sintesi del filtro passivo è un dominio ampio ma, in generale, il filtro viene trattato come una rete a due porte, con una sorgente di tensione con un resistore in serie come ingresso e un resistore in uscita (porta passiva a doppia terminazione). Parte della procedura di progettazione consiste nel determinare quali elementi avrà il porto in base a una funzione di trasferimento.
In questo caso, i requisiti sono \$R_L=1, R_S=\frac12\$e un Bessel di secondo ordine con un ritardo di gruppo di \$\tau=8\text{ms}\$. Questo fa sembrare l'intero circuito così:
Adotterò un approccio diverso per trovare gli elementi. Le funzioni di trasferimento per un prototipo di Bessel passa-basso di 2 ° ordine, normalizzato, e il circuito sopra sono:
$$\begin{align} H(s)&=\frac{3}{s^2+3s+3}=\frac{1}{\frac{s^2}{3}+s+1} \\ G(s)&=\frac{R_L}{R_LLCs^2+(L+R_SR_LC)s+R_S+R_L}=\frac{1}{LCs^2+(L+0.5C)s+1.5} \end{align}$$
È evidente che \$\small G(0)=\frac23\$, quindi \$\small G(s)=\frac23H(s)\$. Ho scelto la rappresentazione non monica perché ora è facile creare un sistema di equazioni dai soli denominatori, da cui si possono facilmente trovare i valori degli elementi, per due valori di \$s\$(che non deve essere complesso). Poiché per \$s=0\$entrambi \$L\$e \$C\$sparisci, scegliamo \$s=1\$e \$s=2\$:
$$\begin{align}\left\{ \begin{array}{x} G(1)=\frac23H(1)\quad\Rightarrow\quad LC+L+C+1.5&=1.5(\frac13+1+1) \\ G(2)=\frac23H(2)\quad\Rightarrow\quad 4LC+2(L+C)+1.5&=1.5(\frac43+2+1) \end{array}\right. \end{align} \\ \Rightarrow \\ \begin{array}{x} L=1.31\,&,\quad 0.191 \\ C=0.382\,&,\quad 2.618 \end{array}$$
La soluzione mostra due serie di valori, ognuno di essi può essere scelto (mostrato sotto). Come accennato nei commenti, il ridimensionamento della frequenza che dovevi applicare era semplicemente la frequenza del prototipo passa-basso quando:
$$ |H(j\omega)|=\left|\frac{3}{-\omega^2+j3\omega+3}\right|=\frac{3}{\sqrt{\left(3-\omega^2\right)^2+9\omega^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \\ \omega_1=\pm\sqrt{\frac32}\sqrt{\sqrt5-1}\quad\omega_2=\pm j\sqrt{\frac32}\sqrt{\sqrt5+1}$$
Dato che abbiamo a che fare con numeri reali e positivi, \$\omega\approx 1.36\$rimane, che è quanto riportato nella tabella. Lo stesso vale per tutti gli ordini.
Ora, se prendi il valore degli elementi normalizzati dalla tabella, \$L=\frac{0.2601}{1.36}=0.19125\$e \$C=\frac{3.5649}{1.36}=2.62125\$, valori molto vicini a quelli calcolati sopra, salvo arrotondamenti & co. Questo può essere applicato a ordini superiori; il sistema di equazioni diventerà soffice, ma può essere fatto. Un rapido controllo mostra che i risultati sono validi:
V(a)è il prototipo passa-basso con scala di grandezza, V(b)è il risultato corretto V(c)e V(d)sono le due soluzioni. Le tracce sono state leggermente spostate per evitare sovrapposizioni, ma sono le stesse, come mostra il ritardo di gruppo (traccia tratteggiata). Quali che siano le piccole differenze, sono dovute all'arrotondamento, niente di più. Se fossero stati calcolati con floatprecisione, o più, si sarebbero sovrapposti perfettamente.
Per motivi di prova, ecco come si potrebbe dedurre un Bessel di 3 ° ordine allo stesso modo ( \$R_S=2, R_L=3, \tau=1\text{s}\$):
$$\begin{align} H(s)&=\frac{15}{s^3+6*s^2+15s+15} \\ G(s)&=\frac{R_L}{L_1L_2Cs^3+(R_SL_2C+R_LL_1C)s^2+(R_LR_SC+L_1+L_2)s+R_S+R_L} \end{align}$$
Il sistema di equazioni può essere costruito in modo simile e ci saranno molte soluzioni (32), ma molte di esse avranno valori negativi o complessi. Ordinarli fuori lascia questi due:
$$\left\{ \begin{array}{x} L_1=0.404\,&,\quad 3.378 \\ L_2=2.87\,&,\quad 0.555 \\ C=0.288\,&,\quad 0.178 \end{array}\right.$$
Entrambe le soluzioni funzionano (questa volta lascio che tutte le tracce si sovrappongano):
Posso aiutare, poiché ho progettato questi filtri, ma non sono sicuro di come sia formulata la domanda.
RS = RL = 2? O errore di battitura, RS = RL / 2
L'input dovrebbe essere abbinato a RS?
È questo compito a casa, ed è il risultato atteso dalla guida alle risposte?
Questo è il mio tentativo. Controlla il diagramma rispetto a come il tuo libro di testo imposta RS e RL nelle domande precedenti. Ed è \$\tau_0\$lo stesso di \$1/f_0\$, il cut-off?
https://rf-tools.com/lc-filter/