Funzione generatrice dei coefficienti trinomiali

Question

Permettere $f(n)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}{n\choose k}{n-k\choose k}$. Dimostralo$\sum_{n=0}^{\infty}f(n)x^n=\frac{1}{\sqrt{(1-3x)(1+x)}}$.

Sono riuscito a trovare la seguente relazione di ricorrenza per i coefficienti trinomiali in Wolfram: $(n+2)a_{n+2}=(2n+3)a_{n+1}+3(n+1)a_n$.

Ora usando $\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)a_{n+2}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}(2n+3)a_{n+1}x^n+\sum_{n=0}^{\infty}3(n+1)a_nx^n \implies \frac{dG}{G}=\frac{dx(x+3x^2)}{1-2x-3x^2}$ Posso risolverlo facilmente tranne:

Domanda: come provo la relazione $(n+2)a_{n+2}=(2n+3)a_{n+1}+3(n+1)a_n$?

Answer 1

Ecco un calcolo diretto della funzione generatrice, utilizzando la serie binomiale : \ begin {align *} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty f (n) x ^ n \ quad & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \ sum_ {0 \ leqslant 2k \ leqslant n} \ frac {n! } {k! ^ 2 (n-2k)!} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ sum_ {n = 2k} ^ \ infty \ frac {n! \ x ^ n} {k! ^ 2 (n-2k)!} \\\ color {grigio} {[\ text {sostituisci$n$ con $n+2k$}]} \ quad & = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(n + 2k)!} {k! ^ 2 n!} x ^ {n + 2k} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ binom {2k} {k} x ^ {2k} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ binom {n + 2k} {2k} x ^ n \ \\ color {gray} {[\ text {use binomial series}]} \ quad & = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ binom {2k} {k} x ^ {2k} (1-x) ^ {-2k-1} = \ frac {1} {1-x} \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ binom {2k} {k} \ left (\ frac {x} {1-x} \ right ) ^ {2k} \\\ color {gray} {[\ text {... e ancora una volta}]} \ quad & = \ frac {1} {1-x} \ left (1- \ frac {4x ^ 2} {(1-x) ^ 2} \ right) ^ {- 1/2} = \ quad \ bbox [2pt, border: 2pt solid] {\ begin {matrix} \ text {expected} \\\ text {risultato} \ end {matrice}} \ end {align *} (l'ultimo passaggio usa$\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}z^k=(1-4z)^{-1/2}$, un'altra istanza della serie binomiale).

Un altro modo è usare $\delta_{mn}$${}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{i(m-n)t}\,dt$e il teorema multinomiale :$$f(n)=\frac{1}{2\pi}\sum_{\substack{n_1,n_2,n_3\geqslant 0\\n_1+n_2+n_3=n}}\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!}\int_{-\pi}^\pi e^{i(n_2-n_3)t}\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi(1+e^{it}+e^{-it})^n\,dt,$$ dando $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty f(n)x^n=\frac1\pi\int_0^\pi\frac{dt}{1-x(1+2\cos t)}$ che viene valutato facilmente.