Generatori di $S_4$

Question

Il gruppo $S_4$ è generato da $\{(12), (1234)\}$.Ora qualcosa che voglio sapere è che come genererò da un ciclo di ordine $4$ e qualsiasi ciclo di ordine $3$ e ordine $2$.

La mia domanda principale è trovare il numero di omomorfismi e se $\varphi(1234) \to -1$ e $\varphi (12) \to -1$.

Allora come concluderò da qui che andrà a qualsiasi permutazione dispari $-1$ e qualsiasi anche andrà a $1$. (Deve essere dimostrato con calcoli grezzi e non utilizzando teoremi di omomorfismo).

Ho davvero bisogno di aiuto.

Answer 1

Qualsiasi strana permutazione $π$ deve essere esprimibile come una parola in $(12)$ e $(1234)$ di lunghezza dispari $n$, poiché entrambi sono dispari. Così$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, da $\varphi$ è un omomorfismo.

Answer 2

Utilizzando una teoria della rappresentazione (vedi https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) Sto lavorando, ho sviluppato un programma Python per l'elaborazione di stringhe per moltiplicare le permutazioni. Passo dopo passo ho aumentato la dimensione del nostro sottoinsieme del gruppo di lavoro; c'è una e una sola rappresentazione standard.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

Da qui puoi "staccare" il resto $5$ trasposizioni e spiegare perché, per qualsiasi trasposizione $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$