Gradiente in coordinate sferiche

Question

Sto cercando di derivare il vettore gradiente in coordinate polari sferiche: $$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$$Il metodo che sto cercando di utilizzare è diverso dalla maggior parte dei documenti / video che ho trovato e non capisco perché non funziona. Sono in grado di ottenere espressioni per i differenziali cartesiani:$dx, dy, dz$. Innanzitutto, sto solo cercando di trovare$\frac{\partial}{\partial x}$in coordinate sferiche. Io ho:$$dx= \cos \theta \sin \phi dr + r \cos \theta \cos \phi d \theta + r \sin \theta \sin \phi d \phi$$ Sembra strano ma la mia prima intuizione è stata di dire che: $$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{ \partial }{ \cos \theta \sin \phi dr + r \cos \theta \cos \phi d \theta + r \sin \theta \sin \phi d \phi} $$ Il che non sembra avere alcun senso ora :(. Se la mia logica è sbagliata, qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo?

Answer 1

Questo è un classico esempio del perché trattare qualcosa di simile $\frac{dy}{dx}$come frazione letterale piuttosto che come notazione abbreviata per un limite è male. Se vuoi derivarlo dai differenziali, dovresti calcolare il quadrato dell'elemento linea$ds^2 .$ Iniziare con $$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$ in coordinate cartesiane e poi mostra

$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 (\theta) d\varphi^2 \; .$$I coefficienti sui componenti per il gradiente in questo sistema di coordinate sferiche saranno 1 sulla radice quadrata dei coefficienti corrispondenti dell'elemento linea. In altre parole

$$\nabla f = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1}}\frac{\partial f}{\partial r} & \frac{1}{\sqrt{r^2}}\frac{\partial f}{\partial \theta} & \frac{1}{\sqrt{r^2\sin^2\theta}}\frac{\partial f}{\partial \varphi} \end{bmatrix} \; .$$ Tieni presente che questo gradiente ha vettori di base nomalizzati.

Per un sistema di coordinate generale (che non ha necessariamente una base ortonormale), organizziamo l'elemento linea in una "matrice" simmetrica con due indici $g_{ij} .$ Se l'elemento line contiene un termine come $f(\mathbf x)dx_kdx_\ell\; \;$ poi $g_{k\ell} = f(\mathbf x).\;$ Il gradiente viene quindi espresso come

$$\nabla f = \sum_i \sum_j \frac{\partial f}{\partial x_i}g^{ij}\mathbf e_j$$ dove $\mathbf e_j$ non è necessariamente un vettore normalizzato e $g^{ij}$ è la matrice inversa di $g_{ij}$.