Permettere $n$ essere la dimensione del triangolo e $(a,b,c)$ le coordinate baricentriche di un dato esagono all'interno di quel triangolo, tali che $a+b+c = n+2$. Affermo che il tempo medio di fuga$E$ quando si parte da quell'esagono è $\frac {3abc} {n+2}$(1). In effetti, abbiamo il sistema di equazioni$E(a,b,c) = 1 + \frac{E(a+1,b-1,c) + E(a,b+1,c-1) + E(a-1,b,c+1) + E(a-1,b+1,c) + E(a,b-1,c+1) + E(a+1,b,c-1)} {6}$
ed è semplice verificare che il file $E$ dato da (1) soddisfa queste equazioni e le condizioni al contorno che sono $E(a,b,c) = 0$ Se $a=0 \vee b=0 \vee c=0$.

Resta da fare la media sui punti di partenza: $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \sum_{a+b+c = 19} \frac {3abc} {19}$ La somma può essere riconosciuta fino a prefattori il coefficiente binomiale $\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix}$ cedevole $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \times \frac {3} {19} \times\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix} = 21$

Per avere un'idea della formula $\begin{pmatrix}N+2n \\ 2n+1 \end{pmatrix} = \sum_{i_0,\ldots,i_n \ge 1, i_0+\ldots+i_n = N+n} i_0 \cdots i_n$ricordiamo che il coefficiente binomiale a sinistra può essere interpretato come il volume (numero di palle di cannone) in un mucchio di palle di cannone a forma piramidale 2n + 1-dimensionale con N palle di cannone lungo ciascun bordo. Ciò può essere dimostrato da un argomento di routine a stelle e barre utilizzando coordinate baricentriche.
Fonte: dominio pubblico di wikipedia

Lasciando da parte le sottigliezze della discretizzazione, proiettiamo il file $2n+1$-simplex (che ha $2n+2$ coordinate baricentriche) al $n$-simplex (che ha $n+1$coordinate baricentriche) semplicemente accoppiando le coordinate e sommando le coppie. Possiamo ora chiederci quali sono la forma e il volume del sottoinsieme del simplex grande che viene mappato in un singolo punto nel simplex piccolo? Si può capire che deve essere un (iper) cuboide, ma forse è più facile guardare solo un'immagine:
Fonte: wikipedia CC BY-SA 4.0 Tomruen

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