Infrangere la legge dai numeri

Question

L'agente speciale Benford è stato ostacolato da un terzo caso irrisolto di contabilità creativa illecita e si ritirerà volontariamente dalla Task Force sui numeri fraudolenti. La capacità di Benford di individuare libri mastri falsificati semplicemente contando le prime cifre delle voci numeriche è così rinomata che una legge porta il nome del nostro eroe mortificato.

Legge di Benford : su un foglio di contabilità onesto, la prima cifra di quasi 1⁄3 di tutte le voci numeriche dovrebbe essere "1", molto più spesso di "2" o di qualsiasi altro numero. Il conteggio della prima cifra di ogni numero corrisponde a uno schema decrescente in cui "9" è la prima cifra del minor numero di numeri.

Questa metodologia è stata utile a Benford per decenni di servizio, poiché contabili senza scrupoli si destreggiavano per lo più con i numeri decimali . Negli anni, tuttavia, due casi sono rimasti invariati perché hanno coinvolto altri sistemi di numerazione. Tutti i numeri interi positivi sono sospetti.

1. Primo caso irrisolto. Riconoscendo il più antico sistema di numerazione conosciuto, Benford sapeva che le sue prime cifre non avrebbero portato alla condanna.

2. Caso due irrisolto. Benford riconobbe questo sistema di numerazione come quello impiegato da praticamente tutti i computer moderni e dovette ammettere ancora una volta che le sue prime cifre erano prive di indizi.

Finalmente, ahimè, è arrivato l'ultimo caso.

1. Caso tre irrisolto. Benford non aveva mai incontrato questo sistema di numerazione, ma dopo aver visto le voci si rese conto che anche loro avrebbero sfidato la "Legge". Prima di arrendersi, Benford ha appreso che lo stesso sistema di numerazione deviante era stato visto per secoli nei circoli accademici, anche se raramente, ed è stato effettivamente la base di alcuni computer digitali abilmente efficienti.

Quali sono i sistemi di numerazione dei casi uno, due e tre e perché sono così illegali?

Bounty challenge: in quale di questi casi il sostituto di Benford, Special Agent Successor, può avere più successo contando le seconde cifre delle voci? Quali sarebbero le loro frequenze numeriche previste?

_{(Nessun cattivo gioco di parole è in corso.)}

Answer 1

Penso che la risposta sia la seguente.

Primo caso:

Unario , noto anche come tally aritmetica. Ogni numero è dato da un numero di simboli (tipicamente barre verticali simili a quelle numeriche), quindi la prima "cifra" è sempre la stessa. Questo è, ovviamente, il metodo di conteggio più antico.

Caso due:

Binario . Ancora una volta, la prima cifra di ogni numero è 1, quindi la legge di Benford non può essere di aiuto. Il binario è la base per la maggior parte delle moderne architetture di computer.

Terzo caso:

Ternario bilanciato . Nel ternario bilanciato, le cifre sono 1, 0 e -1, e la prima cifra di ogni numero positivo è sempre 1. Ci sono diverse ragioni teoriche per cui il ternario bilanciato rende certe operazioni matematiche più efficienti, ed è stato apparentemente usato come base per alcune I computer sovietici in passato.

Bonus:

Guardare la seconda cifra fornirà una distorsione statistica nei casi ternari binari ed equilibrati, ma non nel caso unario. Per il caso binario, usando una semplice generalizzazione della distribuzione fornita su Wikipedia , la probabilità che la seconda cifra sia 0 è$\log_2(3) -\log_2(2)$, che è di circa il 58,5%.

Per il ternario bilanciato, la distribuzione della seconda cifra sembra che dovrebbe essere simile al ternario, ma è leggermente diversa. Per ottenere ciò, metteremo in relazione la distribuzione ternaria bilanciata con la distribuzione ternaria regolare. Nella distribuzione ternaria regolare, la probabilità con cui un numero inizia$n$ (come stringa di cifre) è $\log_3(n+1) - \log_3(n)$.

Per facilità di presentazione, possiamo ignorare i numeri con meno di 3 cifre ternarie bilanciate, poiché ci sarà un numero finito di eccezioni alle regole che poniamo sotto le quali svaniscono mentre guardiamo attraverso l'infinità di interi. Inoltre, useremo i simboli$+$, $\cdot$ e $-$ per le nostre cifre ternarie bilanciate.

Diamo prima un'occhiata al caso in cui si trova la seconda cifra $-$. Convertendo in ternario, abbiamo$[+ - - , + - +] \equiv [12,21]$, $[+ - - -, + - + +] \equiv [112,211]$, $[+ - - - -, + - + + +] \equiv [1112,2111]$, e così via. Pertanto, la seconda cifra di un numero ternario bilanciato è$-$ se e solo se il corrispondente numero ternario inizia con $12$, $112$, $1112$, $\ldots$; $20$; o$21$, ad eccezione di quelli che iniziano con $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$. Per ottenere la probabilità che ciò accada, sommiamo tutte le probabilità associate dalla distribuzione di Benford sugli intervalli ternari normali. Usando il Magma Calculator , otteniamo la probabilità approssimativa del 46,5%.

Consideriamo ora il caso in cui si trova la seconda cifra $\cdot$. Come sopra, per i numeri ternari bilanciati che soddisfano questa condizione, i numeri ternari equivalenti soddisfano$[ + \cdot - , + \cdot + ] \equiv [22 , 101]$ , $[ + \cdot - -, + \cdot + +] \equiv [212 , 1011]$, $[ + \cdot - - -, + \cdot + + +] \equiv [2112 , 10111]$, ecc. Così come prima, un numero ternario bilanciato ha una seconda cifra $\cdot$ quando il numero ternario corrispondente inizia con $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$; $22$; o$10$, ad eccezione di quelli che iniziano con $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$. Ciò produce una probabilità di circa il 30,63%.

Per la seconda cifra $+$, potremmo semplicemente aggiungere i risultati precedenti e sottrarre da 1, ma come controllo calcoliamolo allo stesso modo. Come sopra, abbiamo$[ + + - , + + + ] \equiv [102 , 111]$ , $[ + + - -, + + + +] \equiv [1012 , 1111]$, $[ + + - - -, + + + + +] \equiv [10112 , 11111]$. Quindi la seconda cifra ternaria bilanciata è$+$ quando il numero ternario corrispondente inizia con $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$; o$11$, ad eccezione di quelli che iniziano con $112$, $1112$, $11112$, $\ldots$. Come sopra, questa probabilità è pari al 22,87%.

Per motivi di confronto, le probabilità per le seconde cifre nel ternario normale sono 40,22%, 32,47% e 27,32% per $0$, $1$ e $2$, rispettivamente.