L'intersezione di Regular Open è Regular Open

Question

Di seguito è una domanda e la mia soluzione tentata. Ho già visto questa domanda, ma qualcuno ha adottato un approccio più "puntuale", tuttavia, non pensavo che tale approccio fosse necessario. Pertanto, mi chiedo se la seguente prova / soluzione sia corretta.

Permettere $U$ e $V$ essere regolarmente aperto, vale a dire $U = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U)$ e $V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(V)$. Mostra che l'intersezione di$U$ e $V$ è Regular Open, cioè $U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V)$.

(la mia) Soluzione: per qualsiasi set$U$ e $V$ ce l'abbiamo $\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{cl}(V)$. Dalla monotonia degli interni che abbiamo$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{int}(\operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{cl}(V))$. Poiché le intersezioni sono preservate rispetto agli interni, abbiamo quello$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq \operatorname{int}\operatorname{cl}(U) \cap \operatorname{int}\operatorname{cl}(V)$. Da$U$ e $V$ sono Regular Open, abbiamo che vale quanto segue:

$$\operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V) \subseteq U \cap V. \quad (i)$$

Per l'altra inclusione, nota che per tutti i set $U$ e $V$ ce l'abbiamo $U \cap V \subseteq \operatorname{cl}(U \cap V) \quad (*)$. Da$U$ e $V$ sono regolarmente aperti, sono aperti, quindi, $U \cap V$è aperto. Pertanto, possiamo scrivere$U \cap V = \operatorname{int}(U \cap V)$. Di$(*)$ ce l'abbiamo $U \cap V \subseteq \operatorname{int}(\operatorname{cl}(U \cap V))$. Pertanto, possiamo scrivere$$U \cap V \subseteq \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V). \quad (ii)$$

Da entrambi $(i)$ e $(ii)$ vale quanto segue $$U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl}(U \cap V),$$ come desiderato.

Answer 1

Sì, la prova va bene.

In effetti solo un'inclusione utilizza il fatto che $U$ e $V$ sono essi stessi regolarmente aperti.

Il mio argomento riassunto: come $U$ e $V$ sono regolarmente aperti

$$U \cap V = \operatorname{int}\operatorname{cl} U \cap \operatorname{int} \operatorname{cl} V\tag{1}$$

e come rispetto interiore $\cap$ (proprio come la chiusura rispetta $\cup$) mentre per chiusura abbiamo $\operatorname{cl}( A \cap B) \subseteq \operatorname{cl} A \cap \operatorname{cl} B$ per tutti $A,B$ (il lato destro è chiuso e contiene $A \cap B$ quindi anche la sua chiusura) otteniamo:

$$ U \cap V = \operatorname{int}( \operatorname{cl} U \cap \operatorname{cl} V) \supseteq \operatorname{int} \operatorname{cl}(U \cap V)\tag{2}$$

Come $U \cap V$ è aperto e un sottoinsieme di $\operatorname{cl}( U \cap V)$ banalmente:

$$U \cap V \subseteq \operatorname{int} \operatorname{cl}(U \cap V)\tag{3}$$

e $(2)$ e $(3)$ combinati mostrano il risultato.