La differenza formale tra $\cup$ e $\vee$

Question

Ho un problema a capire la differenza tra il significato dell'unione di insiemi ($\cup$) e l'operatore di disgiunzione logica ($ \ vee).

Ciò di cui non sono sicuro sono le differenze tra le regole di calcolo per quei diversi operatori e se possono essere scambiate o meno in alcune situazioni ???

Se viene data una regola, come:

M∩ (N∪L) = (M∩N) ∪ (M∩L) È equivalente a questo? M∧ (NvL) = (M∧N) v (M∧L)

Lo chiedo perché, ad esempio su Wikipedia le leggi di De Morgan, sono scritte come se questi simboli potessero essere scambiati:

• vedere: https://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan's_laws

Tutto l'aiuto è apprezzato. Grazie

Answer 1

La differenza è questa $\cap$ e $\cup$ e $\overline{\phantom{M}}$ operare sui set, mentre $\land$, $\lor$ e $\neg$ operare sulle formule.

$\{a, b\} \cap (\{b\} \cup \{b, c\}) = (\{a, b\} \cap \{b\}) \cup (\{a, b\} \cap \{b, c\}$ ha senso.
$(p \to q) \land (\neg q \lor r) = ((p \to q) \land \neg q) \lor ((p \to q) \land r)$ ha senso.
$\{a, b\} \land (\{b\} \lor \{b, c\}) = (\{a, b\} \land \{b\}) \lor (\{a, b\} \land \{b, c\}$ non ha senso.
$(p \to q) \cap (\neg q \cup r) = ((p \to q) \cap \neg q) \cup ((p \to q) \cap r)$ non ha senso.

Detto questo, la somiglianza tra i due - la somiglianza visiva nei simboli e il fatto che ad essi si applicano gli stessi schemi di regole - non è casuale: deriva dal fatto che entrambi sono definiti dalla stessa meta- operatori teorici:

$M \cap N = \{x: x \in M \text{ and } x \in N\}$
$M \cup N = \{x: x \in M \text{ or } x \in N\}$
$\overline{M} = \{x: \text{not } x \in M \}$

$\mathfrak{A} \models P \land Q \Longleftrightarrow \mathfrak{A} \models P \text{ and } \mathfrak{A} \models Q$
$\mathfrak{A} \models P \lor Q \Longleftrightarrow \mathfrak{A} \models P \text{ or } \mathfrak{A} \models Q$
$\mathfrak{A} \models \neg P \Longleftrightarrow \text{not } \mathfrak{A} \models P$

Entrambe le definizioni imitano allo stesso modo il comportamento del linguaggio naturale "e", "o" e "non" da cui derivano, ma operano su diversi tipi di oggetti matematici - uno su insiemi, l'altro su formule - e quindi non sono intercambiabili.