La prova di ogni PID è noetheriana
Ho visto la prova di questa proposta qui , ma ho una domanda su questo.
La definizione di anello noetheriano è che l'anello è commutativo e ogni ideale di R è generato finitamente, giusto? L'anello principale è che ogni ideale dell'anello è generato dal singolo elemento, quindi è chiaro. Ma sono curioso di sapere che non solo il PID, ma anche l'anello principale è Noetherian?
Grazie!
Risposte
Hai ragione, non ha nulla a che fare con l'essere un dominio.
In un anello ideale principale, tutti gli ideali sono generati finitamente perché a fortiori sono generati singolarmente . Cioè, un gruppo elettrogeno a un elemento è un gruppo elettrogeno finito!
Il fatto è che in alcuni contesti gli autori si limitano a mantenere i domini. Quindi non c'è un grande mistero sull'inclusione della condizione del dominio, è solo una questione di contesto.