Lemma 8.23 ​​(Gilbarg-Trudinger)

Question

Il mio dubbio è in una fase del seguente lemma

Lemma Sia w una funzione non decrescente su un intervallo (0, Ro] soddisfacente, per tutti$R \le R_0$, la disuguaglianza \ begin {equation} w (\ tau R) \ le \ gamma w (R) + \ sigma (R) \ end {equation} dove$\sigma$ è anche non decrescente e $0 < \gamma, \tau< 1$. Quindi, per qualsiasi$ \mu \in (0, 1)$ e $R \le R_0$, abbiamo \ begin {equation} w (R) \ le C \ left (\ left (\ frac {R} {R_0} \ right) ^ \ alpha w (R_0) + \ sigma (R ^ \ mu R ^ { 1- \ mu}) \ right). \ End {equation} dove$c= C( \gamma, \tau)$ e $\alpha = \alpha(\gamma, \tau ,\mu)$ sono costanti positive.

Il dubbio che ho è nel passaggio successivo della breve dimostrazione del lemma. Per ogni$ R \le R_1, m$ è stato scelto così $$ \tau^m R_1 \le R \le \tau^{m-1} R_1 $$ Come posso vederlo $$ \gamma^{m-1} \le \frac{1}{\gamma} \left (\frac{R}{R_1} \right )^{\log \gamma /\log \tau}? $$ I miei pensieri $$ \gamma^{m-1} = \frac{1}{\gamma} \gamma^m $$ e $$ \tau^m < R/R_1$$ Ne consegue che (come $ \gamma <1$) $$ m> \log_\tau \left (R/R_1\right ) $$

Answer 1

Questo è davvero molto semplice: vuoi

$$\gamma^{m} \le \left (\frac{R}{R_1} \right )^{\log \gamma /\log \tau}, $$

prendendo $\log$, questo è equivalente a

\begin{align} m \log \gamma &\le \frac{\log \gamma}{\log \tau} \log\left (\frac{R}{R_1} \right )\\ \Leftrightarrow m \log \tau &\le \log\frac{R}{R_1} \qquad \qquad \ \ \left( \text{note }\frac{\log \gamma}{\log \tau}>0\right)\\ \Leftrightarrow \tau ^m &\le \frac{R}{R_1} \end{align}

che è $\tau^m R_1\le R$.