Lievitazione $e^z$ è olomorfo

Question

L'ho letto da qualche parte $e^z$è una funzione olomorfica, ma non riesco a pensare a un modo semplice per dimostrarlo. Ho pensato di usare le equazioni di Cauchy Riemann, ma probabilmente è eccessivo. Esiste un approccio semplice per dimostrare che questa funzione è olomorfa?

Answer 1

Dipende dalla tua definizione di $e^z$. La definizione più standard è definirlo tramite la serie di potenze $$ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, $$ che si vede facilmente convergere ovunque. Quindi puoi semplicemente usare il teorema generale secondo cui una serie di potenze definisce una funzione olomorfa ovunque all'interno del suo raggio di convergenza.

Answer 2

$e^{z}$ è definito come :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}.$$

Il raggio di convergenza di questa serie è $\infty$. Quindi è una funzione analitica.

Answer 3

Altre risposte presumono che tu stia definendo l'esponenziale in termini di serie di potenze. Se definisci$e^z = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y)$, vedi quanto segue:

1. Poiché entrambe le funzioni di coordinate sono infinitamente differenziabili, $e^z$ è infinitamente differenziabile in funzione di due variabili
2. $\frac{\partial}{\partial x} e^z = e^z$
3. $\frac{\partial}{\partial y} e^z = ie^z$

Ora è semplice come applicare le equazioni di Cauchy-Riemann.

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Per affrontare se è "eccessivo" - prima di tutto, se funziona, funziona . Preoccuparsi dell'eccesso quando non hai ancora finito di risolvere il problema è, beh,https://stackify.com/premature-optimization-evil/.

In secondo luogo, man mano che il corso procede, dovresti accumulare un elenco di condizioni equivalenti all'olomorfismo ("complessivamente differenziabili in ogni punto di un insieme aperto", "soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann in ogni punto del dominio", "è uguale a serie di potenze in ogni punto di un insieme aperto ", ...).

Invece di cercare di scegliere la "migliore" dal pipistrello, sarebbe probabilmente più istruttivo passare attraverso l'elenco e vedere come si applica ciascuna condizione$e^z$. Questo (a) ti dà pratica con tutto il tuo set di strumenti e (b) ti prepara per abbinare meglio lo strumento al problema in futuro.