Limitare la valutazione.

Question

In N. Piskunov ha spiegato le equazioni differenziali riprendendo l'esempio della resistenza dell'aria che agisce su un corpo in caduta. Dopo aver valutato l'equazione differenziale, ottiene un'equazione per la velocità come:$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

Quindi afferma che se $k = 0$ quindi l'equazione si trasforma nell'equazione di base: $$v = v_o + gt.$$

Ora capisco questa affermazione perché quando la resistenza dell'aria è zero vale l'equazione della velocità. Tuttavia non sono in grado di dimostrare questa affermazione quando sto valutando il limite:$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

Qualsiasi aiuto per valutare il limite sarebbe apprezzato!

Answer 1

Hai

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Il limite del primo termine, cioè $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$, è semplicemente semplicemente $v_{o}$. Per il secondo mandato, dal momento che il limite diventa andare a$\frac{0}{0}$, usando la regola di L'Hôpital , dà

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Potresti anche aver usato il fatto elencato di commento alla domanda di dnfu per ottenere lo stesso valore. Il risultato combinato di \ eqref {eq1A} quindi dà

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

In alternativa, abbiamo quello per limite standard $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ come $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

e il risultato segue.

Answer 3

Con

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

diventa

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$