Limite con logaritmo complesso

Question

Esistono questi limiti che coinvolgono il ramo principale del logaritmo naturale? $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\ln(z^2-1)$$

Penso che il primo limite sia giusto $i\pi$. Ma non so come giustificarlo.

Per il secondo limite, il punto $z\rightarrow 0$è nel ramo tagliato. Quindi penso che il limite non esista perché$\ln$non è definito. È corretto?

Qualsiasi aiuto è apprezzato.

Answer 1

Per $z \in \mathbb C\setminus \{0\}$, hai $\Im(-i \vert z \vert -1) = -\vert z \vert <0$.

Quindi $$\lim\limits_{z \to 0} \ln(-i\vert z \vert -1)=-i\pi.$$

Nota: comunque la mappa $f : z \mapsto \ln(-i\vert z \vert -1)$ non è continuo a zero come $f(0) =i\pi$.

E hai ragione riguardo al secondo limite: non esiste.

Answer 2

Cominciamo con il primo! $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ lo sappiamo $$e^{i{\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)$$ $$ln(e^{i{\theta}})=ln(cos(\theta)+isin(\theta)) $$ $$i\theta=ln(cos(\theta)+isin(\theta))$$ $$\boxed{\theta=-iln(cos(\theta)+isin(\theta))} \quad (1)$$ Quindi, se abbiamo: $$ln(-1)$$ significa che $$cos(\theta)=-1 \space and \space sin(\theta)=0$$ $$\theta=arccos(-1)$$ così $$\theta={\pi}$$ Ora possiamo sostituire $$ \quad (1)$$ $$\boxed{\pi=-iln(cos(\pi)+isin(\pi))}$$ $$\boxed{i{\pi=ln(-1)}}$$Puoi giustificare il secondo esercizio nello stesso modo. (Scusa per il mio inglese e le mie capacità di digitazione)