Lo fa $\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$ convergere?
Considera la seguente somma (dove $\Im(z)$ denota la parte immaginaria di $z$)
$$\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$$
Vale a dire;
$$\Im(\lim_{n\to\infty}a_n)$$ $$a_1=e^i,\ \ \ a_{n+1}=a_n+e^{a_n}\ \ \ \forall n\geq1$$
Ho scritto del codice Python generico ( Try It Online ) e sono rimasto sorpreso di vedere la sua apparente convergenza a$\approx9.424$
Mi occupo specificamente della parte immaginaria perché la parte reale sembra divergere logaritmicamente.
Questo converge? In caso affermativo, ci sono altre espressioni per la costante?
Forse il test di Dirichlet potrebbe essere utile, anche se non so come procedere.
Risposte
Dopo una manciata di iterazioni siamo arrivati $$a_n = -b_n + i(3\pi + \varepsilon_n)$$ con $b_n > 0$ e $\lvert \varepsilon_n\rvert < \frac{\pi}{2}$. Poi$$e^{a_n} = -e^{-b_n}\cdot e^{i\varepsilon_n} = -\frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} - i\frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ e $$a_{n+1} = a_n + e^{a_n} = -\biggl(b_n + \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr) + i\biggl(3\pi + \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr)\,.$$ Così $b_{n+1} > b_n$ e $$\varepsilon_{n+1} = \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ ha lo stesso segno di e una grandezza minore di $\varepsilon_n$. (Qui abbiamo$\varepsilon_n > 0$, ma per altri valori iniziali si potrebbero raggiungere parti immaginarie leggermente più piccole di un multiplo dispari di $\pi$.)
Ne consegue che $\varepsilon_n$ converge, e resta da vedere che il limite è $0$. Supponiamo che il limite fosse$\delta \neq 0$. Allora per tutti$n$ noi abbiamo $$\lvert \varepsilon_n - \varepsilon_{n+1}\rvert = \frac{\sin \lvert\varepsilon_n\rvert}{e^{b_n}} \geqslant \frac{\sin \lvert\delta\rvert}{e^{b_n}}$$ e ne consegue $$\sum_{n = N}^{\infty} e^{-b_n} < +\infty\,. \tag{$\ ast$}$$ Da $$\lvert b_n - b_{n+1}\rvert = \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} \leqslant e^{-b_n}$$ ne consegue inoltre $b_n$ converge, in particolare $b_n < B$ per tutti $n$ e alcuni $B$, ma questo contraddice $(\ast)$. Perciò$$\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$$ segue.
Non una prova completa ma una forte indicazione che
$$\lim_{n\to\infty}\Im(a_n)=3\pi$$
Se il limite converge, allora
$$\lim_{n\to\infty}(\Im(a_n)-\Im(a_{n+1}))=0$$ Quindi, la soluzione dovrebbe soddisfare
$$\Im(z)=\Im(z+e^{iz})$$ $$\implies\Im(z)=\Im(z)+\Im(e^{iz})$$ $$\implies\Im(e^{iz})=0$$ $$\implies\sin(z)=0$$ $$\implies z=\pi n\ \ \ \forall n\in\mathbb{Z}$$
Considerando l'approccio delle stime numeriche $3\pi$(come sottolineato da Stinking Bishop , JG e Gottfried Helms ), la serie converge a$3\pi$, o in qualche modo oscilla molto lentamente tra attraenti punti fissi della forma $\pi n$. Se questo è vero, è curioso che, nonostante l'inizializzazione di$a_1=e^i$, che è molto più vicino a $\pi n$ per $n\in\{-1,0,1,2\}$, preferisce convergere inizialmente verso $3\pi$.
Abbiamo, fondamentalmente,
$S_{n+1}=S_n+\exp(S_n)$
Rendering $S_n=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)$. Poi
$S_{n+1}=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n))$
$=(\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n))+i((k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)))$
Al che
$\alpha_{n+1}=\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n)$
$\epsilon_{n+1}=\epsilon_n+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)$
Quello che succede dopo dipende dalla parità di $k$. Se$k$ è pari, quindi nel limite del piccolo $|\epsilon_n|$ rendiamo $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to 1$ e $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to \epsilon_n$, quindi:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n+\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1+\exp(\alpha_n))$
Ciò rappresenta un'instabilità perché il $\epsilon_n$ termine viene moltiplicato per un fattore maggiore di $1$, e peggio quel fattore cresce perché $\alpha_n$sta aumentando. Scappiamo, in più modi, da questa possibilità.
Se $k$ è strano, quindi $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to -1$ e $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to -\epsilon_n$, poi:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n-\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1-\exp(\alpha_n))$
Ora il $\epsilon$ il parametro viene moltiplicato per un numero positivo minore di $1$, consentendo una condizione stabile. Anche il$\alpha$il parametro diminuisce logaritmicamente; soluzione dell'equazione alle differenze per$\alpha_n$ dà $\alpha_n\sim -\ln n$. Pertanto i punti fissi stabili sono specificamente multipli dispari di$\pi$. Ci aspetteremmo la convergenza a un multiplo dispari piuttosto che pari$\pi$.
C'è un piccolo problema tecnico in questo risultato. Perché$\alpha$ è in diminuzione, il moltiplicatore è attivo $\epsilon$ si avvicina $1$, quindi la convergenza di $\epsilon$a zero rallenta. Questo potrebbe spiegare perché i risultati numerici convergono solo lentamente al punto fisso stabile in$3\pi$.
Aggiornamento: probabilmente la "semplice relazione inversa" (dopo l'equazione 2) è confusa. Non so se posso ripararlo
Nota: questa non è una risposta, ma un allenamento che potrebbe far luce sull'intero problema
Come ha osservato Oscar Lanzi nel suo commento ("prova a impostare il termine iniziale ..."), ho osservato il comportamento dell'iterazione a partire da diversi punti di partenza.
Questo porta alla questione della funzione inversa e di provare, se possiamo tornare indietro da$z_0=\exp(î)$ e vedi, che valore $z_{-1}$ itererebbe a $z_0$ e così via.
Ho trovato la seguente funzione inversa, che richiede un paio di parametri ad ogni passaggio.
Permettere $$ f(z) = z + \exp(z) \tag 1$$ quindi la funzione inversa potrebbe essere scritta come $$ g(z,b,k) = \log( \text{LambertW}_b(\exp(z)) + k \cdot 2 \pi î \\ k,b \in \mathbb Z \tag 2$$ [Nota: la LambertW () branchindex$b$ è secondo alcune implementazioni utente in Pari / GP, potrebbe essere di altro segno o in modo diverso in M'ma o Maple et al.]
Quindi, se lo abbiamo $ z_1 = g(z_2, b,k)$ con alcuni dati $b,k$, allora abbiamo la semplice relazione inversa $ z_2 = f( z_1)$ .
Aggiornamento: questo sembra vero solo per i sottoinsiemi di $(b,k)$ e $b$ e $k$ hanno una relazione lineare e anche da questa dipende $z_2$. È sbagliato come affermazione generale. Tuttavia, i dati di esempio correnti (vedere di seguito) e l'immagine sono corretti.
Purtroppo il contrario non è così facile. Se abbiamo$ z_2 = f(z_1)$ con un dato $z_1$ quindi i valori appropriati per $b$ e $k$ in $z_1=g(z_2,b=?,k=?)$ deve essere empiricamente determinato .
Sembra, nell'iterazione all'infinito di$b$-parametro per LambertW () governa la parte reale del convergente e il$k$Il parametro branch per log () governa la parte immaginaria del convergente
Ad esempio, per trovare un possibile precedente per$z_0=\exp(î)$ possiamo scegliere il parametro più semplice per $g()$ vale a dire $b=0$ e $k=0$ e prendi $$ z_{-1} = g(\exp(î),0,0) = -0.194208607165 + 0.469149782638 î \tag {3.1}$$ Controllalo: $$ f(z_{-1}) = z_0 = 0.540302305868 + 0.841470984808 î = \exp(î) \tag {3.2} $$
Qui sembra che ce l'abbiamo $\Re (f(g(z_0,b,k)))=\Re( z_0)$ indipendentemente dai valori di $(b,k)$ e solo la parte immaginaria cambia a passi di $2 \pi$.
Ma valutando al contrario,$ g(f(z_0),b,k) = z_0$ è corretto solo con valori univoci in $b$ e in $k$.
La mia ipotesi è che per le iterazioni di index, diciamo $i=20$, quando la componente immaginaria arriva nella zona di convergenza e anche l'evoluzione della componente reale diventa liscia, i parametri per i passi indietro $z_{19}=g(z_{20},b_{20},k_{20})$ diventano costanti, e anzi, all'indietro $z_7$ abbiamo sempre $ z_{i-1} =g(z_{i},0,2)$.
Ora, se procediamo da $z_7$ indietro ulteriormente con gli stessi parametri $(b,k)=(0,2)$invece ...
... non arriviamo al nostro$z_0 = \exp(î)$ ma a qualche altro valore.
Quindi vediamo, di quali parametri abbiamo effettivamente bisogno quando torniamo indietro $z_7$ per $z_6$ e a $z_0$.
Vedi le iterazioni$z_0$ per $z_9$ e i parametri $b_i$ e $k_i$ per ogni iterazione:
z b k
--------------------------------------+--+--+----------------------
z_0: 0.540302305868+0.841470984808*I 0 0 ---> z_1
z_1: 1.68413794966+2.12135398618*I 1 0 ---> z_2
z_2: -1.13455960996+6.71301817364*I 0 1
z_3: -0.842246816784+6.84701983939*I 0 1
z_4: -0.478178799834+7.07722157180*I 0 1
z_5: -0.0436380449935+7.51933514381*I 0 1
z_6: 0.270773188633+8.42353070970*I 1 1 ---> z_7
z_7: -0.436174626083+9.52756299919*I 0 2 ---> z_8 from here parameters
z_8: -1.07926736567+9.46122892125*I 0 2 are always (0,2)
A partire da $z_7$ faremmo $z_6=g(z_7,1,1)$, $z_5=g(z_6,0,1)$, $z_4=g(z_5,0,1)$, ...
L'aspetto più interessante è qui che possiamo ancora una volta iterare all'infinito nella direzione all'indietro (usando $g(,0,2)$) con quella coppia costante di parametri $(0,2)$ e iterare apparentemente verso $- \infty + 4 \pi î$
Ecco il grafico delle orbite parziali di $30$ passi avanti $f()$ (colore: blu) vale a dire $z_0$ per $z_{30}$ e poi le orbite parziali di $63$ passi avanti $g( ,0,2)$ (colore: oro) vale a dire $z_{30}$ per $z_{-32}$.
